Questão 4 (25 pontos)
Um cilindro vertical cuja base tem área
tem altura igual a
. O cilindro não tem tampa superior e está completamente cheio de água. Um buraco de área
aparece na base do cilindro. (a) (10 pontos) Calcule a velocidade com que a água sai do buraco (supondo escoamento estacionário), em função da velocidade V com que a superficie da água é rebaixada.
Um cilindro vertical cuja base tem área
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro cheio de água sem tampa, com uma base de área
e altura
. De repente, aparece um buraco na base com área
. A questão pede para a gente calcular a velocidade com que a água sai desse buraco, usando a velocidade
com que a superfície da água está descendo. Para resolver isso, vamos usar o princípio da conservação do volume, que está ligado ao conteúdo de mecânica dos fluidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. A água está saindo do cilindro pelo buraco na base, fazendo com que a superfície da água desça. A velocidade com que a água desce na superfície é
, e a velocidade com que a água sai pelo buraco é o que queremos descobrir, vamos chamar de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a conservação do volume. Isso significa que o volume de água que está saindo pela superfície descendo deve ser igual ao volume que está saindo pelo buraco na base. Ou seja, o quanto de água está saindo da superfície por unidade de tempo é igual ao quanto está saindo pelo buraco no mesmo intervalo de tempo.
Passo 4
Vamos expressar isso matematicamente. O volume saindo pela superfície por unidade de tempo é a área da base
multiplicada pela velocidade
:
Já o volume saindo pelo buraco é a área do buraco
multiplicada pela velocidade de saída
:
Como os volumes devem ser iguais:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
. Podemos simplificar dividindo os dois lados por
:
Multiplicando ambos os lados por 7:
Resposta
A velocidade com que a água sai do buraco é
.