Questão 4 (25 pontos)
Um cilindro vertical cuja base tem área A tem altura igual a H. O cilindro não tem tampa superior e está completamente cheio de água. Um buraco de área A / 7 aparece na base do cilindro. (a) (10 pontos) Calcule a velocidade com que a água sai do buraco (supondo escoamento estacionário), em função da velocidade V com que a superficie da água é rebaixada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro cheio de água sem tampa, com uma base de área A e altura H. De repente, aparece um buraco na base com área A/7. A questão pede para a gente calcular a velocidade com que a água sai desse buraco, usando a velocidade V com que a superfície da água está descendo. Para resolver isso, vamos usar o princípio da conservação do volume, que está ligado ao conteúdo de mecânica dos fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. A água está saindo do cilindro pelo buraco na base, fazendo com que a superfície da água desça. A velocidade com que a água desce na superfície é V, e a velocidade com que a água sai pelo buraco é o que queremos descobrir, vamos chamar de v.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a conservação do volume. Isso significa que o volume de água que está saindo pela superfície descendo deve ser igual ao volume que está saindo pelo buraco na base. Ou seja, o quanto de água está saindo da superfície por unidade de tempo é igual ao quanto está saindo pelo buraco no mesmo intervalo de tempo.

Passo 4

Vamos expressar isso matematicamente. O volume saindo pela superfície por unidade de tempo é a área da base A multiplicada pela velocidade V:
Volume saindo pela superfície = A cdot V í
Já o volume saindo pelo buraco é a área do buraco A/7 multiplicada pela velocidade de saída v:
Volume saindo pelo buraco = A7 cdot v
Como os volumes devem ser iguais:
A cdot V = A7 cdot v

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar v. Podemos simplificar dividindo os dois lados por A:
V = v7
Multiplicando ambos os lados por 7:
v = 7 cdot V

Resposta

A velocidade com que a água sai do buraco é v = 7V.

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