QUESTÃO: Em certa região do espaço, o potencial elétrico em um sistema é dado
Determinar
a) as expressões para as componentes
, e
do campo elétrico nessa região;
a) as expressões para as componentes
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre campo elétrico em uma região do espaço, onde o potencial elétrico $ V(x, y, z) $ é dado pela expressão:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as componentes do campo elétrico, que são $ \mathrm{E}{x} $, $ \mathrm{E}{y} $ e $ \mathrm{E}_{z} $. Para isso, vamos usar o conceito de que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial elétrico. Isso significa que:
Então, nosso plano é calcular as derivadas parciais do potencial $ V $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $ para encontrar cada componente do campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, a derivada parcial em relação a uma delas mostra como a função muda quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes.
Aqui, nosso potencial $ V $ depende de $ x $, $ y $ e $ z $, então vamos calcular as derivadas parciais de $ V $ em relação a cada uma dessas variáveis.
Passo 3
Vamos começar encontrando $ \mathrm{E}{x} $, que é a componente do campo elétrico na direção de $ x $. Pela relação $ \mathrm{E}{x} = -\frac{\partial V}{\partial x} $, precisamos derivar $ V $ em relação a $ x $.
Derivando cada termo de $ V $ em relação a $ x $:
- Derivada de $ -x^{2} y z $ em relação a $ x $:
- Derivada de $ -x \sqrt{z} $ em relação a $ x $:
- Derivada de $ 2 x y z^{3} $ em relação a $ x $:
Somando tudo:
Então,
Passo 4
Agora, vamos encontrar $ \mathrm{E}{y} $, que é a componente do campo elétrico na direção de $ y $. Usando $ \mathrm{E}{y} = -\frac{\partial V}{\partial y} $, derivamos $ V $ em relação a $ y $.
Derivando cada termo de $ V $ em relação a $ y $:
- Derivada de $ -x^{2} y z $ em relação a $ y $:
- Derivada de $ -x \sqrt{z} $ em relação a $ y $:
- Derivada de $ 2 x y z^{3} $ em relação a $ y $:
Somando tudo:
Então,
Passo 5
Por último, vamos determinar $ \mathrm{E}{z} $, a componente do campo elétrico na direção de $ z $. Usando $ \mathrm{E}{z} = -\frac{\partial V}{\partial z} $, derivamos $ V $ em relação a $ z $.
Derivando cada termo de $ V $ em relação a $ z $:
- Derivada de $ -x^{2} y z $ em relação a $ z $:
- Derivada de $ -x \sqrt{z} $ em relação a $ z $:
- Derivada de $ 2 x y z^{3} $ em relação a $ z $:
Somando tudo:
Então,
Resposta
As componentes do campo elétrico nessa região são: