QUESTÃO: O campo elétrico de uma certa região do espaço tem componentes Ex=4 x^2 Ey=-y^2 e Er=0. O ponto A está no eixo y, em y=2 m, e o ponto B em (3 m ; 1 m ; 0). Qual é a diferença de potencial VB-VA ?
(1.5 pontos)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo elétrico com componentes , e . Precisamos encontrar a diferença de potencial entre dois pontos: o ponto A localizado no eixo y em e o ponto B em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.

Passo 2

Sabemos que a diferença de potencial entre dois pontos VB - VA = -integralA^B E cdot dl e é dada pela integral do campo elétrico ao longo de um caminho que vai de a :
Isso significa que precisamos integrar as componentes do campo elétrico ao longo do caminho escolhido.

Passo 3

Vamos escolher um caminho simples para facilitar a integração. Podemos ir do ponto A ao ponto B em duas etapas: primeiro mover-se do ponto A até um ponto com a mesma coordenada x de B (ou seja, ), mantendo , e depois mover-se de para mantendo .

Passo 4

Primeira etapa: de A -integral0^3 4x^2 , dx = -[ 43x^3 ]0^3 = -( 43(27) - 0 ) = -36 , V a .
Aqui, permanece constante em 2 m, e varia de 0 a 3 m. O diferencial de deslocamento é .
O campo elétrico nessa etapa é (pois ).
O produto escalar .
Então, a integral dessa etapa é:

Passo 5

Segunda etapa: de -integral2^1 y^2 , dy = -[ 13y^3 ]2^1 = -( 13(1) - 13(8) ) = -( 13 - 83 ) = 73 , V a .
Aqui, permanece constante em 3 m, e varia de 2 m para 1 m. O diferencial de deslocamento é .
O campo elétrico nessa etapa é .
O produto escalar .
Então, a integral dessa etapa é:

Passo 6

Agora, somamos as diferenças de potencial das duas etapas para obter VB - VA = -36 , V + 73 , V = -1083 + 73 = -1013 , V approx -33,67 , V :

Resposta

A diferença de potencial é aproximadamente .

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