Questão: Um cilindro de gás nitrogênio [ RN 2=297 J / kg K ; kN 2=1,4 ] se encontra à pressão de 12,0 MPa (abs) na temperatura ambiente (27^circ C). Acidentalmente o cilindro tomba e sua válvula é quebrada. O gás escapa através de uma abertura de 9 mm de diâmetro. Determine:
(a) O fluxo de massa de N2 que escapa no instante inicial.
(b) A força instantânea que sofre o cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um cilindro cheio de gás nitrogênio (N₂) que está sob pressão de 12,0 MPa à temperatura ambiente de 27°C. Acidentalmente, o cilindro tombou e a válvula quebrou, fazendo o gás escapar por uma abertura de 9 mm de diâmetro. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas:
a) A taxa de fluxo de massa de N₂ que está escapando no instante inicial.
b) A força instantânea que o cilindro sofre devido a esse escape.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica e mecânica dos fluidos, especialmente relacionados ao fluxo de gases e às forças resultantes desse fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar os dados que temos:
  • Constante específica do gás nitrogênio: $ R_{N_2} = 297 , J/kg·K $
  • Exponente adiabático: $ k_{N_2} = 1,4 $
  • Pressão inicial do gás: $ P = 12,0 , MPa = 12,000 , kPa $ (convertendo para kPa para facilitar os cálculos)
  • Temperatura ambiente: $ T = 27°C = 300 , K $ (convertendo para Kelvin)
  • Diâmetro da abertura: $ d = 9 , mm = 0,009 , m $
  • Área da abertura: $ A = \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 $
Vamos precisar calcular a velocidade do gás escapando e, em seguida, usar essa velocidade para encontrar a taxa de fluxo de massa e a força aplicada no cilindro.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a área da abertura por onde o gás está escapando. A área de um círculo é dada por:
A = pi ( d2 )^2
Substituindo o valor de $ d $:
d

Passo 4

Agora, vamos determinar a velocidade de escape do gás. Para isso, usamos a equação de fluxo de gás através de uma abertura sob condições isentrópicas (processo adiabático e reversível). A velocidade de saída $ v $ pode ser calculada por:
v
Onde $ P_{amb} $ é a pressão ambiente, que vamos assumir como 0 para o instante inicial (liberação imediata).
Simplificando para $ P_{amb} = 0 $:
v = raiz2 k R Tk - 1 [ 1 - ( PambP )^k - 1k ]
Substituindo os valores:
Pamb

Passo 5

Calculando os valores numéricos:
v = raiz2 times 1,4 times 297 times 3000,4 = raiz2 times 1,4 times 297 times 3000,4 = raiz2 times 1,4 times 297 times 3000,4
Primeiro, multiplique os números dentro da raiz:
2 times 1,4 = 2,8
2,8 times 297 = 831,6
831,6 times 300 = 249,480
Agora, divida por 0,4:
249,4800,4 = 623,700
Finalmente, calcule a raiz quadrada:
v = raiz623,700 approx 789,8 , m/s

Passo 6

Com a velocidade do gás, podemos calcular a taxa de fluxo de massa $ \dot{m} $ usando a fórmula:
dotm
Para encontrar $ \rho $ (densidade), usamos a equação de estado dos gases ideais:
dotm = rho times A times v
Substituindo os valores:
rho
Agora, calculamos $ \dot{m} $:
rho = PR T

Resposta

a) A taxa de fluxo de massa de N₂ que escapa no instante inicial é aproximadamente 6,79 kg/s.

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