Questão: Um cilindro de gás nitrogênio [
] se encontra à pressão de 12,0 MPa (abs) na temperatura ambiente
. Acidentalmente o cilindro tomba e sua válvula é quebrada. O gás escapa através de uma abertura de 9 mm de diâmetro. Determine:
(a) O fluxo de massa de
que escapa no instante inicial.
(b) A força instantânea que sofre o cilindro.
(a) O fluxo de massa de
(b) A força instantânea que sofre o cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um cilindro cheio de gás nitrogênio (N₂) que está sob pressão de 12,0 MPa à temperatura ambiente de 27°C. Acidentalmente, o cilindro tombou e a válvula quebrou, fazendo o gás escapar por uma abertura de 9 mm de diâmetro. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas:
a) A taxa de fluxo de massa de N₂ que está escapando no instante inicial.
b) A força instantânea que o cilindro sofre devido a esse escape.
a) A taxa de fluxo de massa de N₂ que está escapando no instante inicial.
b) A força instantânea que o cilindro sofre devido a esse escape.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica e mecânica dos fluidos, especialmente relacionados ao fluxo de gases e às forças resultantes desse fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar os dados que temos:
- Constante específica do gás nitrogênio: $ R_{N_2} = 297 , J/kg·K $
- Exponente adiabático: $ k_{N_2} = 1,4 $
- Pressão inicial do gás: $ P = 12,0 , MPa = 12,000 , kPa $ (convertendo para kPa para facilitar os cálculos)
- Temperatura ambiente: $ T = 27°C = 300 , K $ (convertendo para Kelvin)
- Diâmetro da abertura: $ d = 9 , mm = 0,009 , m $
- Área da abertura: $ A = \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 $
Vamos precisar calcular a velocidade do gás escapando e, em seguida, usar essa velocidade para encontrar a taxa de fluxo de massa e a força aplicada no cilindro.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a área da abertura por onde o gás está escapando. A área de um círculo é dada por:
Substituindo o valor de $ d $:
Passo 4
Agora, vamos determinar a velocidade de escape do gás. Para isso, usamos a equação de fluxo de gás através de uma abertura sob condições isentrópicas (processo adiabático e reversível). A velocidade de saída $ v $ pode ser calculada por:
Onde $ P_{amb} $ é a pressão ambiente, que vamos assumir como 0 para o instante inicial (liberação imediata).
Simplificando para $ P_{amb} = 0 $:
Substituindo os valores:
Passo 5
Calculando os valores numéricos:
Primeiro, multiplique os números dentro da raiz:
Agora, divida por 0,4:
Finalmente, calcule a raiz quadrada:
Passo 6
Com a velocidade do gás, podemos calcular a taxa de fluxo de massa $ \dot{m} $ usando a fórmula:
Para encontrar $ \rho $ (densidade), usamos a equação de estado dos gases ideais:
Substituindo os valores:
Agora, calculamos $ \dot{m} $:
Resposta
a) A taxa de fluxo de massa de N₂ que escapa no instante inicial é aproximadamente 6,79 kg/s.