Questão: Um choque normal está posicionado na seção divergente de um bocal convergente-divergente. 0 escoamento de ar no bocal é adiabático e invíscido a montante e a jusante do choque. A área da seção transversal onde o choque ocorre é igual a
e o número de Mach local, nesta seção, é 2,0 . O escoamento a montante do choque apresenta
(abs) e
. Sabendo que a área da seção de descarga do bocal é 1,40
, determine a temperatura e a pressão na seção de descarga do bocal e a vazão em massa no bocal.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um bocal convergente-divergente com um choque normal na seção divergente. O ar está se escoando de forma adiabática (sem troca de calor) e invíscida (sem atrito) antes e depois do choque. As informações que a gente tem são:
- Área na seção do choque:
- Número de Mach na seção do choque: 2,0
- Pressão total a montante do choque:
- Temperatura total a montante do choque:
- Área da seção de descarga:
Queremos descobrir:
- A temperatura na seção de descarga.
- A pressão na seção de descarga.
- A vazão em massa no bocal.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de fluxo compressível, choques normais, e relacionamentos isentrópicos. Também vamos precisar da equação da vazão em massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece no choque normal. Quando o fluxo super-sônico (Mach > 1) passa por um choque normal, ele se torna sub-sônico (Mach < 1). Precisamos encontrar as condições pós-choque, ou seja, depois que o fluxo passa pelo choque.
Vamos assumir que o gás é ar, com razão de calores específicos
.
Passo 3
Usando as relações de choque normal para a pressão e temperatura pós-choque. As fórmulas são:
Onde:
- $ p_1 $, $ T_1 $: pressão e temperatura antes do choque
- $ p_2 $, $ T_2 $: pressão e temperatura depois do choque
- $ M_1 $: número de Mach antes do choque
Passo 4
Primeiro, calculamos $ p_1 $ e $ T_1 $. Sabemos que a condição a montante do choque é:
Com $ M_1 = 2,0 $, e
:
Primeiro, calculamos $ T_1 $:
Passo 5
Agora, calculamos $ p_1 $:
Passo 6
Agora, aplicamos as relações de choque normal para encontrar $ p_2 $ e $ T_2 $:
Para $ T_2 $:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a condição na seção de descarga. Após o choque, o fluxo é sub-sônico e escoa de forma isentrópica até a saída. Vamos usar as relações isentrópicas para encontrar a pressão e temperatura na descarga.
As relações isentrópicas são:
Mas para simplificar, assumimos que no escoamento isentrópico após o choque, e a área de descarga corresponde ao escoamento crítico (Mach 1). Assim, a pressão de descarga $ p_4 $ pode ser igualada a $ p_2 $.
Portanto:
E para a temperatura:
Passo 8
Finalmente, vamos calcular a vazão em massa ($ \dot{m} $) no bocal. A fórmula para a vazão em massa é:
Onde:
- $ \rho $: densidade do ar
- $ u $: velocidade do fluxo
- $ A $: área da seção
Primeiro, encontramos a densidade a montante do choque ($ \rho_1 $) usando a equação dos gases ideais:
Assumindo $ R = 287, J/(kg·K) $:
Agora, a velocidade a montante do choque ($ u_1 $):
Onde $ a_1 $ é a velocidade do som:
Então, a vazão em massa:
Resposta
A temperatura na seção de descarga é aproximadamente
, a pressão na seção de descarga é cerca de
, e a vazão em massa no bocal é aproximadamente
.