Questão: Um choque normal está posicionado na seção divergente de um bocal convergente-divergente. 0 escoamento de ar no bocal é adiabático e invíscido a montante e a jusante do choque. A área da seção transversal onde o choque ocorre é igual a 9,3 times 10^-3 m^2 e o número de Mach local, nesta seção, é 2,0 . O escoamento a montante do choque apresenta p0=1,4 MPa (abs) e T0=667 K. Sabendo que a área da seção de descarga do bocal é 1,40 times 10^-2 m^2, determine a temperatura e a pressão na seção de descarga do bocal e a vazão em massa no bocal.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um bocal convergente-divergente com um choque normal na seção divergente. O ar está se escoando de forma adiabática (sem troca de calor) e invíscida (sem atrito) antes e depois do choque. As informações que a gente tem são:
  • Área na seção do choque: 9,3 times 10^-3, m^2
  • Número de Mach na seção do choque: 2,0
  • Pressão total a montante do choque: p0 = 1,4, MPa
  • Temperatura total a montante do choque: T0 = 667, K
  • Área da seção de descarga: 1,40 times 10^-2, m^2
Queremos descobrir:
  1. A temperatura na seção de descarga.
  2. A pressão na seção de descarga.
  3. A vazão em massa no bocal.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de fluxo compressível, choques normais, e relacionamentos isentrópicos. Também vamos precisar da equação da vazão em massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece no choque normal. Quando o fluxo super-sônico (Mach > 1) passa por um choque normal, ele se torna sub-sônico (Mach < 1). Precisamos encontrar as condições pós-choque, ou seja, depois que o fluxo passa pelo choque.
Vamos assumir que o gás é ar, com razão de calores específicos gamma = 1,4.

Passo 3

Usando as relações de choque normal para a pressão e temperatura pós-choque. As fórmulas são:
p2p1 = 1 + 2gammagamma + 1(M1^2 - 1)
T2T1 = [1 + 2gammagamma + 1(M1^2 - 1)][1 + gamma - 12M1^2](gamma + 1)^2
Onde:
  • $ p_1 $, $ T_1 $: pressão e temperatura antes do choque
  • $ p_2 $, $ T_2 $: pressão e temperatura depois do choque
  • $ M_1 $: número de Mach antes do choque

Passo 4

Primeiro, calculamos $ p_1 $ e $ T_1 $. Sabemos que a condição a montante do choque é:
p1
T1
Com $ M_1 = 2,0 $, e p0 = p1 (1 + gamma - 12 M1^2)^gammagamma - 1 :
Primeiro, calculamos $ T_1 $:
T0 = T1 (1 + gamma - 12 M1^2)

Passo 5

Agora, calculamos $ p_1 $:
p1

Passo 6

Agora, aplicamos as relações de choque normal para encontrar $ p_2 $ e $ T_2 $:
p2
T2
Para $ T_2 $:
p2p1 = 1 + 2 times 1,41,4 + 1(2^2 - 1) = 1 + 2,82,4 times 3 = 1 + 1,1667 times 3 = 1 + 3,5 = 4,5
p2 = 4,5 times p1 = 4,5 times 208,75, kPa approx 939,38, kPa

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a condição na seção de descarga. Após o choque, o fluxo é sub-sônico e escoa de forma isentrópica até a saída. Vamos usar as relações isentrópicas para encontrar a pressão e temperatura na descarga.
As relações isentrópicas são:
p4p2 = (A4A2)^-2gammagamma - 1 (1 + gamma - 12 M2^21 + gamma - 12 M4^2)^gammagamma - 1
Mas para simplificar, assumimos que no escoamento isentrópico após o choque, e a área de descarga corresponde ao escoamento crítico (Mach 1). Assim, a pressão de descarga $ p_4 $ pode ser igualada a $ p_2 $.
Portanto:
p4
E para a temperatura:
p2

Passo 8

Finalmente, vamos calcular a vazão em massa ($ \dot{m} $) no bocal. A fórmula para a vazão em massa é:
dotm
Onde:
  • $ \rho $: densidade do ar
  • $ u $: velocidade do fluxo
  • $ A $: área da seção
Primeiro, encontramos a densidade a montante do choque ($ \rho_1 $) usando a equação dos gases ideais:
dotm = rho u A
Assumindo $ R = 287, J/(kg·K) $:
rho
Agora, a velocidade a montante do choque ($ u_1 $):
u
Onde $ a_1 $ é a velocidade do som:
A
rho1
Então, a vazão em massa:
rho1 = p1R T1

Resposta

A temperatura na seção de descarga é aproximadamente 521,56, K, a pressão na seção de descarga é cerca de 939,38, kPa, e a vazão em massa no bocal é aproximadamente 0,444, kg/s.

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