^a Questão: Dois longos cilindros coaxiais estão separados pelo vácuo. Os dois cilindro possuim comprimento L. O cilindro interno possui um raio ra e densidade linear de carga +lambda. O cilindro externo possui raio interno rb e densidade linear de carga -lambda. Calcule a capacitância desse capacitor e mostrar que
C=2 pi epsilon0 Lln (rb / ra)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido. Temos dois cilindros longos e concêntricos (um dentro do outro) separados pelo vácuo. O cilindro interno tem raio C = 2 pi epsilon0 Lln (rbra) e carga linear , e o externo tem raio interno e carga linear . Queremos calcular a capacitância desse sistema e mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente o campo elétrico entre cilindros concêntricos e a definição de capacitância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância C = QV é definida como a razão entre a carga e a diferença de potencial :
Aqui, é a carga no cilindro interno e no externo.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico oint E cdot dA = Qencepsilon0 entre os cilindros. Para isso, usamos a Lei de Gauss. Considerando um cilindro gaussiano coaxial com raio E cdot 2 pi r L = lambda Lepsilon0 onde E = lambda2 pi epsilon0 r , a simetria do problema nos diz que o campo elétrico será radial e apenas dependerá de .
A Lei de Gauss é:
Para nosso cilindro gaussiano, a área lateral é , então:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, vamos calcular a diferença de potencial V = -integralra^rb E cdot dr entre os dois cilindros. O potencial é obtido integrando o campo elétrico:
V = integralra^rb lambda2 pi epsilon0 r dr = lambda2 pi epsilon0 ln(rbra)
Como o campo é radial e positivo saindo do cilindro interno para o externo (considerando a carga positiva no interno), temos:

Passo 5

Agora que temos C = QV = lambda Llambda2 pi epsilon0 ln(rbra) = 2 pi epsilon0 Lln(rbra) em função de , vamos relacionar com . Sabemos que . Substituindo na fórmula da capacitância:

Resposta

A capacitância dos cilindros coaxiais é:
C = 2 pi epsilon0 Lln (rbra)

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