Questão: Dois longos cilindros coaxiais estão separados pelo vácuo. Os dois cilindro possuim comprimento . O cilindro interno possui um raio e densidade linear de carga . O cilindro externo possui raio interno e densidade linear de carga . Calcule a capacitância desse capacitor e mostrar que

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido. Temos dois cilindros longos e concêntricos (um dentro do outro) separados pelo vácuo. O cilindro interno tem raio e carga linear , e o externo tem raio interno e carga linear . Queremos calcular a capacitância desse sistema e mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente o campo elétrico entre cilindros concêntricos e a definição de capacitância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância é definida como a razão entre a carga e a diferença de potencial :
Aqui, é a carga no cilindro interno e no externo.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico entre os cilindros. Para isso, usamos a Lei de Gauss. Considerando um cilindro gaussiano coaxial com raio onde , a simetria do problema nos diz que o campo elétrico será radial e apenas dependerá de .
A Lei de Gauss é:
Para nosso cilindro gaussiano, a área lateral é , então:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, vamos calcular a diferença de potencial entre os dois cilindros. O potencial é obtido integrando o campo elétrico:
Como o campo é radial e positivo saindo do cilindro interno para o externo (considerando a carga positiva no interno), temos:

Passo 5

Agora que temos em função de , vamos relacionar com . Sabemos que . Substituindo na fórmula da capacitância:

Resposta

A capacitância dos cilindros coaxiais é:

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