Questão: Dois longos cilindros coaxiais estão separados pelo vácuo. Os dois cilindro possuim comprimento
. O cilindro interno possui um raio
e densidade linear de carga
. O cilindro externo possui raio interno
e densidade linear de carga
. Calcule a capacitância desse capacitor e mostrar que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido. Temos dois cilindros longos e concêntricos (um dentro do outro) separados pelo vácuo. O cilindro interno tem raio
e carga linear
, e o externo tem raio interno
e carga linear
. Queremos calcular a capacitância desse sistema e mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente o campo elétrico entre cilindros concêntricos e a definição de capacitância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a capacitância
é definida como a razão entre a carga
e a diferença de potencial
:
Aqui,
é a carga no cilindro interno e
no externo.
Passo 3
Vamos calcular o campo elétrico
entre os cilindros. Para isso, usamos a Lei de Gauss. Considerando um cilindro gaussiano coaxial com raio
onde
, a simetria do problema nos diz que o campo elétrico será radial e apenas dependerá de
.
A Lei de Gauss é:
Para nosso cilindro gaussiano, a área lateral é
, então:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a diferença de potencial
entre os dois cilindros. O potencial é obtido integrando o campo elétrico:
Como o campo é radial e positivo saindo do cilindro interno para o externo (considerando a carga positiva no interno), temos:
Passo 5
Agora que temos
em função de
, vamos relacionar
com
. Sabemos que
. Substituindo na fórmula da capacitância:
Resposta
A capacitância dos cilindros coaxiais é: