Questao 2 - Uma empresa produz televisores de 2 tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição normal sendo que, no tipo A, com média de 10 meses e desvio padrão de 2 meses e no tipo B, com média de 11 meses e desvio padrão de 3 meses. Os televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de 1200 u.m. e 2100 u.m. respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de 2500 u.m. e 7000 u.m. Respectivamente.
a) Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre probabilidades envolvendo dois tipos de televisores, A e B. A gente precisa calcular a probabilidade de que cada tipo de TV apresente um defeito grave dentro de seis meses, garantindo assim a restituição do valor pago. Para resolver isso, vamos usar a distribuição normal, que nos ajuda a entender como os defeitos se distribuem ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Tipo A:
    • Média do tempo até o defeito: 10 meses
    • Desvio padrão: 2 meses
  • Tipo B:
    • Média do tempo até o defeito: 11 meses
    • Desvio padrão: 3 meses
Queremos saber a probabilidade de que o defeito aconteça em até 6 meses para cada tipo.

Passo 3

A distribuição normal é simétrica e descreve como os valores se distribuem em torno da média. Para encontrar a probabilidade de um evento ocorrer até um certo ponto (neste caso, 6 meses), usamos a função de distribuição acumulada (CDF).
A fórmula para padronizar um valor $ x $ é:
x
Onde:
  • $ \mu $ é a média
  • $ \sigma $ é o desvio padrão
Isso nos dá o valor $ z $, que podemos usar nas tabelas de distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade desejada.

Passo 4

Vamos calcular para o Tipo A primeiro.
zA = 6 - 102 = -42 = -2
Agora, consultamos a tabela da distribuição normal padrão para $ z = -2 $. A probabilidade correspondente é aproximadamente 0,0228, ou 2,28%.

Passo 5

Agora, vamos calcular para o Tipo B.
zB = 6 - 113 = -53 approx -1,6667
Consultando a tabela para $ z \approx -1,6667 $, a probabilidade é aproximadamente 0,0478, ou 4,78%.

Resposta

A probabilidade de haver restituição é de aproximadamente 2,28% para os televisores do tipo A e 4,78% para os televisores do tipo B.

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