Questao 9 - A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por uma certa máquina é 0,502 cm e o desvio-padrão é 0,0005 . A finalidade para qual essas arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima, para o diâmetro, de 0,496 a 0,508 cm. Se isso não se verificar, as arruelas serão consideradas defeituosas. Determinar a percentagem de arruelas defeituosas produzidas pela máquina, admitindo-se que os diâmetros são distribuídos normalmente.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma amostra de 200 arruelas com diâmetros que seguem uma distribuição normal. A média dos diâmetros é 0,502 cm e o desvio-padrão é 0,0005 cm. A fábrica permite que os diâmetros fiquem entre 0,496 cm e 0,508 cm. Se uma arruela tiver um diâmetro fora desse intervalo, ela é considerada defeituosa. Nosso objetivo é calcular a porcentagem de arruelas que são defeituosas.

Passo 2

Primeiro, vamos padronizar os valores de tolerância usando a fórmula do z-score:
z = X - musigma
Onde:
  • X é o valor do diâmetro
  • mu é a média
  • sigma é o desvio-padrão
Vamos calcular os z-scores para os limites inferior e superior.

Passo 3

Calculando o z-score para o limite inferior ( 0,496 cm):
zinferior = 0,496 - 0,5020,0005 = -0,0060,0005 = -12
E para o limite superior ( 0,508 cm):
zsuperior = 0,508 - 0,5020,0005 = 0,0060,0005 = 12

Passo 4

Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade de um z-score ser menor que -12 ou maior que 12. Porém, valores de z tão extremos são quase impossíveis na prática. A probabilidade de um z-score ser menor que -12 ou maior que 12 é praticamente zero.

Passo 5

Portanto, a porcentagem de arruelas defeituosas é praticamente zero. Na prática, isso significa que a máquina está produzindo as arruelas dentro das especificações quase que perfeitamente.

Resposta

A porcentagem de arruelas defeituosas produzidas pela máquina é praticamente 0%.

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