4^a Questão) Uma esfera sólida, AISI 1010 , com 1 cm de diâmetro, inicialmente a 15^circ C é colocada em uma corrente de ar, Tinfty=60^circ C. Estimar a equação que expressa a temperatura dessa esfera em função do tempo depois de ter sido colocada na corrente de ar quente. Estime a temperatura após 60 segundos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma esfera sólida de aço AISI 1010 com 1 cm de diâmetro, que começa a 15°C e é colocada em um fluxo de ar quente a 60°C. A gente precisa descobrir como a temperatura da esfera muda com o tempo depois que ela foi colocada nesse ar quente e, mais especificamente, qual será a temperatura dela após 60 segundos.
Vamos usar conceitos de transferência de calor, mais precisamente a Lei de Resfriamento de Newton, que nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda ao trocar calor com o ambiente ao redor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de mudança de temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. A equação geral é:
dTdt = -hA (T - Tinfty)m cp
Onde:
  • é a temperatura da esfera no tempo .
  • é a temperatura do ar ambiente.
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção.
  • é a área de superfície da esfera.
  • é a massa da esfera.
  • é a capacidade calorífica específica do material.

Passo 3

Vamos reorganizar essa equação para resolver integral 1T - Tinfty dT = -hAm cp integral dt . Podemos separá-la e integrar:
ln(T - Tinfty) = -hAm cp t + C
Integrando ambos os lados, temos:
Onde é a constante de integração. Para encontrar , usamos a condição inicial.

Passo 4

Sabemos que no tempo ln(15 - 60) = C Rightarrow ln(-45) = C , a temperatura dTdt = hA (Tinfty - T)m cp . Substituindo na equação:
ln(Tinfty - T) = -hAm cp t + C
Aqui percebemos que temos um logaritmo de um número negativo, o que não faz sentido fisicamente. Isso indica que devemos ajustar a equação. Na verdade, a diferença de temperatura deve ser ln(60 - 15) = C Rightarrow ln(45) = C , já que o ar está mais quente.
Então, vamos refazer a equação correta:
Integrando novamente, teremos:
Aplicando a condição inicial :

Passo 5

Agora, podemos escrever a equação geral para a temperatura em função do tempo:
ln(Tinfty - T) = -hAm cp t + ln(45)
Vamos exponentiar ambos os lados para resolver para Tinfty - T = 45 e^-hAm cp t :
T(t) = Tinfty - 45 e^-hAm cp t
Isolando :

Passo 6

Agora, precisamos expressar a constante na exponencial de forma mais clara. Vamos calcular A = 4pi r^2 .
Primeiro, calculamos a área A = 4pi (0,005)^2 = 4pi times 0,000025 = 0,000314 m^2 da esfera:
m = rho V
Com diâmetro de 1 cm, o raio V = 43pi r^3 = 43pi (0,005)^3 = 43pi times 0,000000125 = 0,0000005236 m^3 m:
m = 7850 times 0,0000005236 approx 0,004118 kg
Agora, calculamos a massa da esfera. A massa é dada por:
Onde é a densidade do aço AISI 1010 ( ) e é o volume da esfera:
Então,

Passo 7

A capacidade calorífica específica hAm cp = h times 0,0003140,004118 times 470 approx 0,000314h1,936 approx 0,000162h s^-1 do aço AISI 1010 é aproximadamente 470 J/kg·K.
Agora, vamos montar a constante:

Passo 8

Agora, substituindo tudo na equação da temperatura:
T(t) = 60 - 45 e^-0,000162h t
Essa é a equação que descreve a temperatura da esfera em função do tempo.

Passo 9

Para estimar a temperatura após 60 segundos ( T(60) = 60 - 45 e^-0,000162h times 60 s), usamos a equação:
T(60) = 60 - 45 e^-0,00972h
Simplificando:
Sem o valor de , não podemos calcular numérica completa, mas essa é a forma final da resposta.

Resposta

A temperatura da esfera em função do tempo é dada por:
T(t) = 60 - 45, e^-0,000162, h, t
Após 60 segundos, a temperatura é:
T(60) = 60 - 45, e^-0,00972, h

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