Questão) Uma esfera sólida, AISI 1010 , com 1 cm de diâmetro, inicialmente a
é colocada em uma corrente de ar,
. Estimar a equação que expressa a temperatura dessa esfera em função do tempo depois de ter sido colocada na corrente de ar quente. Estime a temperatura após 60 segundos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma esfera sólida de aço AISI 1010 com 1 cm de diâmetro, que começa a 15°C e é colocada em um fluxo de ar quente a 60°C. A gente precisa descobrir como a temperatura da esfera muda com o tempo depois que ela foi colocada nesse ar quente e, mais especificamente, qual será a temperatura dela após 60 segundos.
Vamos usar conceitos de transferência de calor, mais precisamente a Lei de Resfriamento de Newton, que nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda ao trocar calor com o ambiente ao redor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de mudança de temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. A equação geral é:
Onde:
-
é a temperatura da esfera no tempo . -
é a temperatura do ar ambiente. -
é o coeficiente de transferência de calor por convecção. -
é a área de superfície da esfera. -
é a massa da esfera. -
é a capacidade calorífica específica do material.
Passo 3
Vamos reorganizar essa equação para resolver
. Podemos separá-la e integrar:
Integrando ambos os lados, temos:
Onde
é a constante de integração. Para encontrar
, usamos a condição inicial.
Passo 4
Sabemos que no tempo
, a temperatura
. Substituindo na equação:
Aqui percebemos que temos um logaritmo de um número negativo, o que não faz sentido fisicamente. Isso indica que devemos ajustar a equação. Na verdade, a diferença de temperatura deve ser
, já que o ar está mais quente.
Então, vamos refazer a equação correta:
Integrando novamente, teremos:
Aplicando a condição inicial
:
Passo 5
Agora, podemos escrever a equação geral para a temperatura em função do tempo:
Vamos exponentiar ambos os lados para resolver para
:
Isolando
:
Passo 6
Agora, precisamos expressar a constante na exponencial de forma mais clara. Vamos calcular
.
Primeiro, calculamos a área
da esfera:
Com diâmetro de 1 cm, o raio
m:
Agora, calculamos a massa
da esfera. A massa é dada por:
Onde
é a densidade do aço AISI 1010 (
) e
é o volume da esfera:
Então,
Passo 7
A capacidade calorífica específica
do aço AISI 1010 é aproximadamente 470 J/kg·K.
Agora, vamos montar a constante:
Passo 8
Agora, substituindo tudo na equação da temperatura:
Essa é a equação que descreve a temperatura da esfera em função do tempo.
Passo 9
Para estimar a temperatura após 60 segundos (
s), usamos a equação:
Simplificando:
Sem o valor de
, não podemos calcular numérica completa, mas essa é a forma final da resposta.
Resposta
A temperatura da esfera em função do tempo é dada por:
Após 60 segundos, a temperatura é:
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;
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