Questão 5 - Em uma fábrica as máquinas estragam a um ritmo de 4 falhas por semana, segundo a distribuição de Poisson. Quando uma máquina falha, é enviada uma solicitação de conserto ao departamento responsável pela manutenção. Calcule a probabilidade de, em uma dada semana, chegarem as seguintes quantidades de solicitação de conserto:
d) Mais que 4 falhas;
d) Mais que 4 falhas;
Passo 1
Então, a gente tem uma fábrica onde as máquinas quebram em média 4 vezes por semana, e isso segue uma distribuição de Poisson. A parada é calcular a chance de, em uma semana específica, terem mais de 4 quebras nas máquinas. Vamos precisar entender um pouco sobre a distribuição de Poisson e como ela funciona para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, pra gente trabalhar com a distribuição de Poisson, lembra que ela dá a probabilidade de ocorrer um certo número de eventos em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos são raros e ocorrem de forma independente. A fórmula da distribuição de Poisson é:
Onde:
- $ \lambda $ é a média de ocorrências (nossa, 4 falhas por semana),
- $ k $ é o número de ocorrências que a gente quer calcular a probabilidade,
- $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).
Passo 3
A gente quer a probabilidade de mais que 4 falhas, ou seja, $ P(k > 4) $. Mas a fórmula da Poisson nos dá a probabilidade de exatamente $ k $ falhas. Então, pra achar mais que 4, a gente pode calcular 1 menos a probabilidade de ter no máximo 4 falhas:
Isso significa que precisamos somar as probabilidades de ter 0, 1, 2, 3 e 4 falhas.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da Poisson:
Agora, somando tudo:
Passo 5
Agora, voltando à nossa fórmula original:
Resposta
A probabilidade de, em uma semana, ocorrerem mais de 4 falhas nas máquinas é aproximadamente 37,3%.