Questão 5 - Em uma fábrica as máquinas estragam a um ritmo de 4 falhas por semana, segundo a distribuição de Poisson. Quando uma máquina falha, é enviada uma solicitação de conserto ao departamento responsável pela manutenção. Calcule a probabilidade de, em uma dada semana, chegarem as seguintes quantidades de solicitação de conserto:
d) Mais que 4 falhas;

Passo 1

Então, a gente tem uma fábrica onde as máquinas quebram em média 4 vezes por semana, e isso segue uma distribuição de Poisson. A parada é calcular a chance de, em uma semana específica, terem mais de 4 quebras nas máquinas. Vamos precisar entender um pouco sobre a distribuição de Poisson e como ela funciona para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, pra gente trabalhar com a distribuição de Poisson, lembra que ela dá a probabilidade de ocorrer um certo número de eventos em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos são raros e ocorrem de forma independente. A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(k) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • $ \lambda $ é a média de ocorrências (nossa, 4 falhas por semana),
  • $ k $ é o número de ocorrências que a gente quer calcular a probabilidade,
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).

Passo 3

A gente quer a probabilidade de mais que 4 falhas, ou seja, $ P(k > 4) $. Mas a fórmula da Poisson nos dá a probabilidade de exatamente $ k $ falhas. Então, pra achar mais que 4, a gente pode calcular 1 menos a probabilidade de ter no máximo 4 falhas:
P(k > 4)
Isso significa que precisamos somar as probabilidades de ter 0, 1, 2, 3 e 4 falhas.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da Poisson:
P(0) = e^-4 cdot 4^00! = e^-4
P(1) = e^-4 cdot 4^11! = 4e^-4
P(2) = e^-4 cdot 4^22! = 8e^-4
P(3) = e^-4 cdot 4^33! = 646e^-4
P(4) = e^-4 cdot 4^44! = 25624e^-4
Agora, somando tudo:
P(k <= 4) = e^-4 + 4e^-4 + 8e^-4 + 646e^-4 + 25624e^-4
P(k <= 4) = e^-4 (1 + 4 + 8 + 646 + 25624)
P(k <= 4) approx e^-4 (1 + 4 + 8 + 106 + 106)
P(k <= 4) approx e^-4 cdot 343
P(k <= 4) approx 0.0183 cdot 343
P(k <= 4) approx 0.627

Passo 5

Agora, voltando à nossa fórmula original:
P(k > 4) = 1 - P(k <= 4)
P(k > 4) = 1 - 0.627
P(k > 4) approx 0.373

Resposta

A probabilidade de, em uma semana, ocorrerem mais de 4 falhas nas máquinas é aproximadamente 37,3%.

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