Questão 5 - Em uma fábrica as máquinas estragam a um ritmo de 4 falhas por semana, segundo a distribuição de Poisson. Quando uma máquina falha, é enviada uma solicitação de conserto ao departamento responsável pela manutenção. Calcule a probabilidade de, em uma dada semana, chegarem as seguintes quantidades de solicitação de conserto:
a) Zero;
a) Zero;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre máquinas que estragam numa fábrica seguindo uma distribuição de Poisson, que é ótima para contar eventos que acontecem aleatoriamente no tempo, tipo essas falhas de máquina. Aqui, a taxa é de 4 falhas por semana. A gente quer descobrir a probabilidade de, em uma semana específica, não receber nenhuma solicitação de conserto. Para isso, vamos usar a fórmula da distribuição de Poisson.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da distribuição de Poisson. Ela serve para calcular a probabilidade de um certo número de eventos acontecer em um intervalo fixo de tempo, sabendo a taxa média de ocorrência. A fórmula é:
Onde:
- $ P(k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos.
- $ \lambda $ é a taxa média de eventos por intervalo (neste caso, 4 falhas por semana).
- $ e $ é a constante de Euler, aproximadamente 2,71828.
- $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula para calcular a probabilidade de $ k = 0 $ solicitações de conserto numa semana. Substituindo os valores na fórmula:
Sabemos que:
- $ 4^{0} = 1 $ (qualquer número elevado a zero é 1).
- $ 0! = 1 $ (por definição, o fatorial de zero é 1).
Então, simplificando:
Agora, vamos calcular o valor numérico de $ e^{-4} $:
Resposta
A probabilidade de não chegarem solicitações de conserto numa semana é aproximadamente 1,83%.