Questão 5 - Em uma fábrica as máquinas estragam a um ritmo de 4 falhas por semana, segundo a distribuição de Poisson. Quando uma máquina falha, é enviada uma solicitação de conserto ao departamento responsável pela manutenção. Calcule a probabilidade de, em uma dada semana, chegarem as seguintes quantidades de solicitação de conserto:
c) Até 4 falhas;
c) Até 4 falhas;
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver uma questão sobre a distribuição de Poisson. A questão fala que em uma fábrica as máquinas quebram em média 4 vezes por semana. Queremos descobrir qual é a probabilidade de, em uma semana, chegarem até 4 solicitações de conserto. Vamos precisar usar a fórmula da distribuição de Poisson para calcular essa probabilidade acumulada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente.
Passo 3
A fórmula da distribuição de Poisson é:
Onde:
- $ \lambda $ é a taxa média de ocorrência (neste caso, 4 falhas por semana).
- $ k $ é o número de ocorrências que queremos calcular a probabilidade.
- $ e $ é a constante de Euler, aproximadamente 2,71828.
- $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 4
Como queremos a probabilidade de até 4 falhas, vamos calcular $ P(X = 0) $, $ P(X = 1) $, $ P(X = 2) $, $ P(X = 3) $ e $ P(X = 4) $ usando a fórmula:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
- Para $ k = 3 $:
- Para $ k = 4 $:
Passo 5
Agora, vamos somar todas essas probabilidades para encontrar a probabilidade acumulada de até 4 falhas:
Resposta
A probabilidade de, em uma semana, chegarem até 4 solicitações de conserto é aproximadamente 62,8%.