Questão 5 - Em uma fábrica as máquinas estragam a um ritmo de 4 falhas por semana, segundo a distribuição de Poisson. Quando uma máquina falha, é enviada uma solicitação de conserto ao departamento responsável pela manutenção. Calcule a probabilidade de, em uma dada semana, chegarem as seguintes quantidades de solicitação de conserto:
c) Até 4 falhas;

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver uma questão sobre a distribuição de Poisson. A questão fala que em uma fábrica as máquinas quebram em média 4 vezes por semana. Queremos descobrir qual é a probabilidade de, em uma semana, chegarem até 4 solicitações de conserto. Vamos precisar usar a fórmula da distribuição de Poisson para calcular essa probabilidade acumulada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente.

Passo 3

A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • $ \lambda $ é a taxa média de ocorrência (neste caso, 4 falhas por semana).
  • $ k $ é o número de ocorrências que queremos calcular a probabilidade.
  • $ e $ é a constante de Euler, aproximadamente 2,71828.
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 4

Como queremos a probabilidade de até 4 falhas, vamos calcular $ P(X = 0) $, $ P(X = 1) $, $ P(X = 2) $, $ P(X = 3) $ e $ P(X = 4) $ usando a fórmula:
  1. Para $ k = 0 $:
P(X = 0)
  1. Para $ k = 1 $:
P(X = 1)
  1. Para $ k = 2 $:
P(X = 2)
  1. Para $ k = 3 $:
P(X = 3)
  1. Para $ k = 4 $:
P(X = 4)

Passo 5

Agora, vamos somar todas essas probabilidades para encontrar a probabilidade acumulada de até 4 falhas:
P(X <= 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
P(X <= 4) approx 0,0183 + 0,0733 + 0,1465 + 0,1954 + 0,1954
P(X <= 4) approx 0,628

Resposta

A probabilidade de, em uma semana, chegarem até 4 solicitações de conserto é aproximadamente 62,8%.

Exercícios relacionados