Questão: Um obstáculo causa um desvio no escoamento de ar que, a velocidades supersônicas, resulta num choque oblíquo com ângulo de choque igual a 30^circ. Considerando as velocidades antes e depois do choque de, respectivamente, 896 m / s e 780 m / s, determine:
(a) o ângulo de deflexão, theta;
(b) a razão de pressões através do choque, considerando a temperatura ambiente igual a 273 K.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A situação envolve um escoamento de ar supersônico encontrando um obstáculo que causa um choque oblíquo. Precisamos descobrir dois pontos:
a) O ângulo de deflexão theta que o fluxo sofre após o choque.
b) A razão de pressões entre antes e depois do choque.
Para isso, vamos usar os conceitos de choque oblíquo e as equações de conservação que regem esses fenômenos. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um choque oblíquo. Quando um fluxo supersônico encontra um obstáculo, ele é desviado, formando um choque que não é perpendicular ao fluxo, daí o nome “oblíquo”. Esse choque causa mudanças nas propriedades do fluxo, como velocidade e pressão.
Aqui, nos foram dadas as velocidades antes ( V1 = 896,m/s) e depois ( V2 = 780,m/s) do choque, e o ângulo do choque ( beta = 30^circ). Precisamos relacionar esses valores para encontrar o ângulo de deflexão theta.

Passo 3

Vamos decompor as velocidades nas direções normal e tangencial ao choque. Para isso, usamos trigonometria:
A velocidade normal antes do choque ( Vn1) é:
Vn1 = V1 cdot sinbeta
Substituindo os valores:
Vn1 = 896 cdot sin30^circ = 896 cdot 0.5 = 448,m/s

Passo 4

Após o choque, a velocidade normal diminui para Vn2 = 780 cdot sinbeta. No entanto, para encontrar o ângulo de deflexão theta, precisamos relacionar as velocidades normal e tangencial.
A deflexão ocorre porque apenas a componente normal da velocidade é afetada pelo choque. A componente tangencial permanece a mesma:
Vt1 = Vt2 = V1 cdot cosbeta = 896 cdot cos30^circ approx 896 cdot 0.8660 approx 775.74,m/s

Passo 5

A deflexão angle theta é a mudança na direção do fluxo, dada pela relação entre as componentes das velocidades antes e depois do choque:
tantheta = Vt2 - Vt1Vn2
Mas como Vt1 = Vt2 (a componente tangencial não muda), a deflexão theta está relacionada à mudança na direção causada pela redução da componente normal.
Usando as relações de choque oblíquo:
theta = arctan(Vn1 - Vn2Vt1)
Substituindo os valores:
theta = arctan(448 - 780 cdot sin30^circ775.74) = arctan(448 - 390775.74) = arctan(58775.74) approx arctan0.0748 approx 4.29^circ

Passo 6

Agora, vamos calcular a razão de pressões ( p2/p1) através do choque. Para isso, usamos a equação de conservação de momentum na direção normal ao choque:
p2p1 = 1 + 2 gammagamma + 1 ( Mn1^2 - 1 )
Onde:
  • gamma é a razão dos calores específicos (para o ar, gamma = 1.4).
  • Mn1 é o número de Mach normal antes do choque, dado por:
Mn1 = Vn1a1
Com a1 sendo a velocidade do som antes do choque. A velocidade do som é calculada por:
a1 = raizgamma R T
Onde R = 287,J/(kg·K) e T = 273,K.

Passo 7

Vamos calcular a1:
a1 = raiz1.4 cdot 287 cdot 273 approx raiz1.4 cdot 287 cdot 273 approx raiz109,434 approx 331,m/s
Agora, o número de Mach normal Mn1:
Mn1 = 448331 approx 1.35

Passo 8

Substituindo na equação da razão de pressões:
p2p1 = 1 + 2 cdot 1.41.4 + 1 (1.35^2 - 1) = 1 + 2.82.4 (1.8225 - 1) = 1 + 1.1667 cdot 0.8225 approx 1 + 0.958 approx 1.958
Arredondando:
p2p1 approx 1.96

Resposta

b) A razão de pressões através do choque é aproximadamente 1,96.

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