Determine o perfil de velocidade e a vazão volumétrica do escoamento para as situações descritas a seguir: Escoamento gerado por um gradiente de pressão G=-partial p / partial z ao longo da direção z.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa determinar o perfil de velocidade e a vazão volumétrica de um escoamento que é gerado por um gradiente de pressão na direção . Basicamente, estamos lidando com mecânica dos fluidos, mais especificamente com o escoamento em condições laminares onde a força motriz é uma variação de pressão. Vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de forças e propriedades viscosas do fluido para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que faz o fluido se mover. A variação de pressão G = mu d^2 udy^2 gera uma força que empurra o fluido na direção . Ao mesmo tempo, a viscosidade do fluido resiste a esse movimento. No equilíbrio, essas duas forças se equilibram. A equação que descreve esse equilíbrio é a equação de Navier-Stokes simplificada para escoamento laminar em uma dimensão:
Aqui, é a viscosidade do fluido e é a velocidade do fluido na direção .

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial para encontrar o perfil de velocidade mu d^2 udy^2 = G . A equação que temos é:
mu dudy = G y + C1
Vamos integrar isso duas vezes em relação a mu u(y) = G y^22 + C1 y + C2 :
Primeira integração:
u(y) = G y^22mu + C1mu y + C2mu
Segunda integração:
Dividindo tudo por :

Passo 4

Precisamos determinar as constantes de integração u(0) = 0 = G cdot 0^22mu + C1mu cdot 0 + C2mu Rightarrow C2 = 0 e u(h) = 0 = G h^22mu + C1mu h + 0 Rightarrow C1 = -G h^22mu h = -G h2mu . Para isso, vamos aplicar as condições de contorno. Supondo que estamos lidando com escoamento entre duas placas paralelas a uma distância , onde a velocidade é zero nas duas placas (condição de não deslizamento):
Para :
Para :

Passo 5

Substituindo u(y) = G y^22mu - G h2mu y e u(y) = G2mu (y^2 - h y) na expressão de :
Podemos fatorar :
Esse é o perfil de velocidade do escoamento.

Passo 6

Agora, para encontrar a vazão volumétrica Q = integral0^h u(y) cdot L , dy = L integral0^h G2mu (y^2 - h y) , dy , que é o volume de fluido que passa por uma seção transversal por unidade de tempo, usamos a integral do perfil de velocidade sobre a área de fluxo. Se considerarmos uma largura Q = G L2mu [ y^33 - h y^22 ]0^h = G L2mu ( h^33 - h^32 ) = G L h^32mu ( 13 - 12 ) = -G L h^312mu na direção perpendicular a Q = G L h^312mu , então:
Integrando:
Como vazão é uma quantidade positiva, tomamos o valor absoluto:

Resposta

O perfil de velocidade é dado por e a vazão volumétrica do escoamento é .

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