Determine o perfil de velocidade e a vazão volumétrica do escoamento para as situações descritas a seguir: Escoamento gerado por um gradiente de pressão
ao longo da direção
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa determinar o perfil de velocidade e a vazão volumétrica de um escoamento que é gerado por um gradiente de pressão
na direção
. Basicamente, estamos lidando com mecânica dos fluidos, mais especificamente com o escoamento em condições laminares onde a força motriz é uma variação de pressão. Vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de forças e propriedades viscosas do fluido para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que faz o fluido se mover. A variação de pressão
gera uma força que empurra o fluido na direção
. Ao mesmo tempo, a viscosidade do fluido resiste a esse movimento. No equilíbrio, essas duas forças se equilibram. A equação que descreve esse equilíbrio é a equação de Navier-Stokes simplificada para escoamento laminar em uma dimensão:
Aqui,
é a viscosidade do fluido e
é a velocidade do fluido na direção
.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial para encontrar o perfil de velocidade
. A equação que temos é:
Vamos integrar isso duas vezes em relação a
:
Primeira integração:
Segunda integração:
Dividindo tudo por
:
Passo 4
Precisamos determinar as constantes de integração
e
. Para isso, vamos aplicar as condições de contorno. Supondo que estamos lidando com escoamento entre duas placas paralelas a uma distância
, onde a velocidade é zero nas duas placas (condição de não deslizamento):
Para
:
Para
:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão de
:
Podemos fatorar
:
Esse é o perfil de velocidade do escoamento.
Passo 6
Agora, para encontrar a vazão volumétrica
, que é o volume de fluido que passa por uma seção transversal por unidade de tempo, usamos a integral do perfil de velocidade sobre a área de fluxo. Se considerarmos uma largura
na direção perpendicular a
, então:
Integrando:
Como vazão é uma quantidade positiva, tomamos o valor absoluto:
Resposta
O perfil de velocidade é dado por
e a vazão volumétrica do escoamento é
.
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(abs) e o número de Mach
.
(a) Determine a pressão de estagnação após o choque.
(b) Determine o número de Mach após o choque.
© Qual o valor da pressão de estagnação se fosse obtida na desaceleração isoentropica entre os mesmos números de Mach.
(a) Determine a pressão de estagnação após o choque.
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(a) o ângulo de deflexão,
(b) a razão de pressões através do choque, considerando a temperatura ambiente igual a 273 K.