Questão: Um reservatório se encontra com T0=330 K e 1500 kPa (abs). Um bocal C-D, com diâmetros da garganta e da saída iguais a, respectivamente, 1 cm e 3 cm descarrega o ar do reservatório.
(a) Para que valores de contrapressão o escoamento será isoentrópico e bloqueado?
(b) Calcule o fluxo de massa nessa condição.
© Qual a pressão na garganta?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um reservatório com temperatura de e pressão de . Tem um bocal C-D com diâmetros de 1 cm na garganta e 3 cm na saída, que está descarregando o ar do reservatório. Nosso objetivo aqui é:
(a) Descobrir quais valores de contrapressão fazem o escoamento ser isoentrópico (sem troca de entropia, tipo um fluxo ideal) e bloqueado (fluxo choked, onde a velocidade no gargalo atinge a velocidade do som).
(b) Calcular o fluxo de massa nessa condição ideal.
© Encontrar a pressão na garganta do bocal.
Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de escoamento compressível, equações de fluxo isoentrópico e propriedades dos gases ideais.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Queremos saber quais valores de contrapressão PcP0 = ( 2gamma + 1 )^gammagamma - 1 ã fazem com que o escoamento seja isoentrópico e bloqueado.
Primeiro, vamos lembrar que em um escoamento choked, a velocidade do fluido na garganta (o ponto mais estreito) alcança a velocidade do som. Isso acontece quando a razão entre a pressão no reservatório e a contrapressão atinge um valor crítico.
A relação para fluxo choked em escoamento isentrópico é dada por:
Onde é a razão de capacidades térmicas do ar, que é aproximadamente 1.4.

Passo 3

Agora, vamos calcular esse valor crítico para encontrar Pc1500 , kPa = ( 21.4 + 1 )^1.41.4 - 1 = ( 22.4 )^3.5 approx 0.528 :
Substituindo Pc = 0.528 times 1500 , kPa approx 792 , kPa :
Portanto:
Isso significa que para qualquer contrapressão igual ou maior que aproximadamente , o escoamento será isoentrópico e choked.

Passo 4

Vamos para a parte (b), calcular o fluxo de massa dotm = C At P0 raiz gammaR T0 ( 2gamma + 1 )^gamma + 12(gamma - 1) nessa condição.
A fórmula para o fluxo de massa em escoamento choked é:
At = pi ( dt2 )^2 = pi ( 0.01 , m2 )^2 approx 7.85 times 10^-5 , m^2
Onde:
  • dotm = 1 times 7.85 times 10^-5 , m^2 times 1500000 , Pa times raiz 1.4287 times 330 times 0.528^2.5 é o coeficiente de descarga (vamos assumir 1 para simplicidade),
  • raiz 1.4287 times 330 approx raiz0.0147 approx 0.121 é a área da garganta,
  • 0.528^2.5 approx 0.528^2 times 0.528^0.5 approx 0.279 times 0.727 approx 0.203 é a constante específica do gás (para o ar, dotm approx 7.85 times 10^-5 times 1500000 times 0.121 times 0.203 approx 2.75 , kg/s ),
  • é a temperatura total.
Primeiro, vamos calcular a área da garganta :
Agora, substituindo os valores:
Calculando cada parte:
Agora, multiplicando tudo:

Passo 5

Finalmente, para a parte ©, vamos encontrar a pressão na garganta PtP0 = ( 2gamma + 1 )^gammagamma - 1 approx 0.528 .
Sabemos que em escoamento choked e isentrópico:
Mas na parte (a) já calculamos , que na garganta é a mesma pressão , já que o escoamento está choked.

Resposta

(a) A contrapressão deve ser aproximadamente ou maior para que o escoamento seja isoentrópico e bloqueado.
(b) O fluxo de massa nessa condição é de cerca de .
© A pressão na garganta é aproximadamente .

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