Questão (2,0 pontos): Considere um sistema massa-mola com um corpo de massa 1 kg e uma mola com constante de elasticidade igual a
é colocado em movimento, no instante
, puxando-se o corpo para baixo e esticando à mola em 1 m , num meio em que a constante de amortecimento é igual a
. Determine a posição do corpo em qualquer instante
, considerando a velocidade inicial, apontada para cima, igual a
. Escreva a solução do sistema na forma
BOA PROVA!!!
BOA PROVA!!!
Passo 1
Então, temos um sistema massa-mola com uma massa de 1 kg ligada a uma mola que tem uma constante de elasticidade de 2 N/m. Esse sistema está em um meio que causa amortecimento com uma constante de 2 N·s/m. No instante inicial, puxamos o corpo para baixo, esticando a mola 1 metro, e damos uma velocidade inicial para cima de 2 m/s. Vamos usar conceitos de movimento harmônico amortecido para determinar a posição do corpo em qualquer instante de tempo
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a equação do movimento para um sistema massa-mola-amortecedor. A equação diferencial que descreve esse sistema é:
Aqui,
é a massa,
é a constante de amortecimento e
é a constante da mola.
Passo 3
Substituindo os valores fornecidos:
Simplificando:
Passo 4
Para resolver essa equação diferencial, vamos assumir uma solução da forma
. Substituindo na equação:
Dividindo por
:
Passo 5
Resolvemos a equação característica:
Isso indica que o sistema é subamortecido e a solução geral é:
Passo 6
Vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
. No instante
:
A velocidade é a derivada de
:
No instante
:
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral:
Podemos reescrever isso na forma
.
Resposta
A posição do corpo em qualquer instante
é: