3^a Questão (2,0 pontos): Considere um sistema massa-mola com um corpo de massa 1 kg e uma mola com constante de elasticidade igual a 2 N/m é colocado em movimento, no instante t = 0, puxando-se o corpo para baixo e esticando à mola em 1 m , num meio em que a constante de amortecimento é igual a 2 N . s / m. Determine a posição do corpo em qualquer instante t, considerando a velocidade inicial, apontada para cima, igual a 2 m/s. Escreva a solução do sistema na forma R e^(alpha t) cos(omega0 t - delta)
BOA PROVA!!!

Passo 1

Então, temos um sistema massa-mola com uma massa de 1 kg ligada a uma mola que tem uma constante de elasticidade de 2 N/m. Esse sistema está em um meio que causa amortecimento com uma constante de 2 N·s/m. No instante inicial, puxamos o corpo para baixo, esticando a mola 1 metro, e damos uma velocidade inicial para cima de 2 m/s. Vamos usar conceitos de movimento harmônico amortecido para determinar a posição do corpo em qualquer instante de tempo .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a equação do movimento para um sistema massa-mola-amortecedor. A equação diferencial que descreve esse sistema é:
Aqui, é a massa, é a constante de amortecimento e é a constante da mola.

Passo 3

Substituindo os valores fornecidos:
Simplificando:

Passo 4

Para resolver essa equação diferencial, vamos assumir uma solução da forma . Substituindo na equação:
Dividindo por :

Passo 5

Resolvemos a equação característica:
Isso indica que o sistema é subamortecido e a solução geral é:

Passo 6

Vamos usar as condições iniciais para encontrar e . No instante :
A velocidade é a derivada de :
No instante :

Passo 7

Substituindo e na solução geral:
Podemos reescrever isso na forma .

Resposta

A posição do corpo em qualquer instante é:

Exercícios relacionados