Resolver as seguintes equações homogêneas y' = xy / (x^2 + xy^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial homogênea de primeira ordem. O conteúdo que vamos utilizar aqui envolve métodos para resolver equações homogêneas, especialmente a substituição que simplifica a equação para torná-la mais fácil de resolver.

Passo 2

Para resolver uma equação diferencial homogênea, geralmente usamos a substituição . Isso porque, ao fazer essa substituição, conseguimos transformar a equação em uma forma que permite separar as variáveis e .

Passo 3

Vamos definir . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a regra da derivada para quocientes, temos:

Passo 4

Agora, isolamos dessa equação:
Como , substituímos:

Passo 5

Agora, substituímos na equação diferencial original:
Sabendo que , substituímos na equação:

Passo 6

Agora, temos a equação:
Vamos isolar :
Então:

Passo 7

Essa equação ainda parece complicada, então vamos rearranjar de forma a separar as variáveis. Multiplicando ambos os lados por :
Agora, reescrevemos como :
Podemos separar as variáveis e :
Essa separação ainda é complexa, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 8

Vamos reconsiderar a substituição inicial e tentar simplificar de outra maneira. Retornando à equação original:
Agora, temos:

Passo 9

Agora, vamos separar as variáveis e :
Isso simplifica para:

Passo 10

Vamos integrar ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Para encontrar em termos de , podemos rearranjar a equação:
Isso pode ser escrito como:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde é uma constante arbitrária.

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