Resolver as seguintes equações homogêneas
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial homogênea de primeira ordem. O conteúdo que vamos utilizar aqui envolve métodos para resolver equações homogêneas, especialmente a substituição que simplifica a equação para torná-la mais fácil de resolver.
Passo 2
Para resolver uma equação diferencial homogênea, geralmente usamos a substituição
. Isso porque, ao fazer essa substituição, conseguimos transformar a equação em uma forma que permite separar as variáveis
e
.
Passo 3
Vamos definir
. Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Usando a regra da derivada para quocientes, temos:
Passo 4
Agora, isolamos
dessa equação:
Como
, substituímos:
Passo 5
Agora, substituímos
na equação diferencial original:
Sabendo que
, substituímos na equação:
Passo 6
Agora, temos a equação:
Vamos isolar
:
Então:
Passo 7
Essa equação ainda parece complicada, então vamos rearranjar de forma a separar as variáveis. Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, reescrevemos
como
:
Podemos separar as variáveis
e
:
Essa separação ainda é complexa, então vamos tentar outra abordagem.
Passo 8
Vamos reconsiderar a substituição inicial e tentar simplificar de outra maneira. Retornando à equação original:
Agora, temos:
Passo 9
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Isso simplifica para:
Passo 10
Vamos integrar ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 11
Para encontrar
em termos de
, podemos rearranjar a equação:
Isso pode ser escrito como:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
é uma constante arbitrária.