Seja f: A -> B uma função. Mostre que f^-1(Y^c) = f^-1(Y)^c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente tem uma função e precisa mostrar que o inverso da imagem do complemento de é igual ao complemento do inverso da imagem de . Basicamente, vamos mexer com conceitos de Teoria dos Conjuntos, como imagem inversa e complemento. Vamos aos passos!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o complemento de um conjunto. Se temos , o complemento de , denotado por , é todo elemento que está em mas não está em . Em outras palavras:

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que significa a imagem inversa de um conjunto pela função . A imagem inversa de , escrita como , é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados para por . Formalmente:

Passo 4

Nosso objetivo é mostrar que:
Vamos começar interpretando . Isso significa todos os elementos em que são mapeados para o complemento de em . Ou seja:

Passo 5

Agora, vamos analisar . Primeiro, encontramos e depois tomamos o complemento em . Então:

Passo 6

Comparando as duas expressões que obtivemos:
Vemos que ambas as expressões definem o mesmo conjunto. Portanto, concluímos que:

Resposta

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