Seja
uma função. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente tem uma função
e precisa mostrar que o inverso da imagem do complemento de
é igual ao complemento do inverso da imagem de
. Basicamente, vamos mexer com conceitos de Teoria dos Conjuntos, como imagem inversa e complemento. Vamos aos passos!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o complemento de um conjunto. Se temos
, o complemento de
, denotado por
, é todo elemento que está em
mas não está em
. Em outras palavras:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que significa a imagem inversa de um conjunto pela função
. A imagem inversa de
, escrita como
, é o conjunto de todos os elementos em
que são mapeados para
por
. Formalmente:
Passo 4
Nosso objetivo é mostrar que:
Vamos começar interpretando
. Isso significa todos os elementos em
que são mapeados para o complemento de
em
. Ou seja:
Passo 5
Agora, vamos analisar
. Primeiro, encontramos
e depois tomamos o complemento em
. Então:
Passo 6
Comparando as duas expressões que obtivemos:
Vemos que ambas as expressões definem o mesmo conjunto. Portanto, concluímos que: