Questão 1 ( 6 pontos) Sabe-se que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Sabendo que após 20 anos a população triplica, e após 40 anos a população é 200 mil habitantes,
a) (1 ponto) Escreva a equação diferencial e as condiçōes que modelam o problema acima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o crescimento da população de uma cidade que cresce de forma proporcional ao número de habitantes existentes. Isso significa que a taxa de crescimento da população está relacionada diretamente ao número atual de pessoas. Para modelar isso, vamos usar conceitos de Equações Diferenciais, que são ferramentas matemáticas usadas para descrever como uma quantidade muda ao longo do tempo. Precisamos identificar a equação que representa esse crescimento e as condições iniciais que caracterizam o problema.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que significa que a taxa de crescimento é proporcional ao número de habitantes. Matemáticamente, isso é representado pela derivada da população em relação ao tempo sendo igual a uma constante multiplicada pela população atual. Ou seja:
Aqui, representa a população no tempo , e é a constante de proporcionalidade que determina a taxa de crescimento.

Passo 3

Agora, precisamos estabelecer as condições que modelam o problema. Sabemos que:
  1. Condição Inicial: Vamos considerar que no tempo , a população é . Isso dá a nossa condição inicial:
  1. Condição Após 20 Anos: Após 20 anos, a população triplica, ou seja:
Essas condições nos ajudam a determinar a constante e resolver a equação diferencial para encontrar a função .

Resposta

A equação diferencial que modela o problema é:
Com as condições:

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