Use as propriedades do triângulo de Pascal para resolver os problemas abaixo:
b) Qual o valor da expressão
?
b) Qual o valor da expressão
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a soma dos coeficientes binomiais
usando as propriedades do Triângulo de Pascal. Isso faz parte do conteúdo de combinatória, especificamente envolvendo coeficientes binomiais e suas somas. Para resolver, vamos precisar entender como os coeficientes binomiais se relacionam e como somá-los de maneira eficiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os coeficientes binomiais
representam os elementos do n-ésimo nível do Triângulo de Pascal, onde
e
varia de 0 a 13. A soma de todos os coeficientes binomiais em um nível é igual a
. Portanto, a soma de todos os
para
a
é
.
Passo 3
Nosso objetivo é somar apenas de
até
. Para facilitar, vamos calcular a soma total e depois subtrair os termos que não queremos, ou seja, os valores de
.
Passo 4
Vamos calcular os termos que precisamos subtrair:
-
-
-
-
(porque ) -
Passo 5
Agora, somamos esses termos que vamos subtrair:
Passo 6
Subtraímos essa soma da soma total dos coeficientes:
Resposta
O valor da expressão
é 8086.
Exercícios relacionados
Questão 1 ( 6 pontos) Sabe-se que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Sabendo que após 20 anos a população triplica, e após 40 anos a população é 200 mil habitantes,
a) (1 ponto) Escreva a equação diferencial e as condiçōes que modelam o problema acima.
a) (1 ponto) Escreva a equação diferencial e as condiçōes que modelam o problema acima.
Use as propriedades do triângulo de Pascal para resolver os problemas abaixo:
a) Calcule o valor da soma .
a) Calcule o valor da soma
Seja (
) as coordenadas do vértice da parábola
e
o ponto de interseção entre as retas
b) (4 pontos) Calcule
b) (4 pontos) Calcule
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
(f)
(f)