Use as propriedades do triângulo de Pascal para resolver os problemas abaixo:
a) Calcule o valor da soma
.
a) Calcule o valor da soma
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma soma que envolve multiplicações sequenciais:
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve propriedades de somas e um pouco de álgebra básica. Para resolver, vamos precisar entender como somar termos que seguem um padrão específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor essa soma. Ela pode ser escrita de forma geral como:
Isso significa que estamos somando o produto de cada número
com
, de 1 até 100.
Passo 3
Vamos simplificar o termo dentro da soma:
Assim, nossa soma fica:
Aqui, separamos a soma em duas partes: uma envolvendo
e outra envolvendo
.
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma dessas somas separadamente. Primeiro, a soma dos quadrados:
Essa fórmula nos dá a soma dos quadrados dos primeiros
números naturais.
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a soma dos números naturais:
Multiplicamos esse resultado por 2, conforme a expressão anterior:
Passo 6
Agora, somamos os dois resultados obtidos:
Resposta
A soma
é igual a 348.450.
Exercícios relacionados
Questão 3 (OBMEP-N3-2018). Uma formiguinha está no ponto A do quadriculado da figura e quer chegar ao ponto B, andando sobre os lados dos quadradinhos e apenas para a direita ou para baixo.
a) De quantas maneiras ela pode fazer esse trajeto?
a) De quantas maneiras ela pode fazer esse trajeto?
Qual é o valor de
?
Questão 1 ( 6 pontos) Sabe-se que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Sabendo que após 20 anos a população triplica, e após 40 anos a população é 200 mil habitantes,
a) (1 ponto) Escreva a equação diferencial e as condiçōes que modelam o problema acima.
a) (1 ponto) Escreva a equação diferencial e as condiçōes que modelam o problema acima.
Use as propriedades do triângulo de Pascal para resolver os problemas abaixo:
b) Qual o valor da expressão ?
b) Qual o valor da expressão