Questão: Seja A(em cm²) a área de um quadrado e s(em cm) o comprimento do lado do quadrado.
(a) encontre a taxa de variaçaõ média de A em relação a s, quando s varia de 4 a 4,6 e de 4 a 4,1 ;
(b) determine a taxa de variação instantânea de A em relação a s, quando s é 4 .
Passo 1
Então, galera, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a área de um quadrado, que chamamos de (em centímetros quadrados, cm²), e o comprimento do lado desse quadrado, que é (em centímetros, cm). A gente vai precisar usar conceitos de taxa de variação média e taxa de variação instantânea, que estão relacionados ao cálculo de derivadas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a taxa de variação média. Basicamente, ela nos diz como uma quantidade muda em relação a outra, de forma média, entre dois pontos. No nosso caso, queremos ver como a área varia em relação ao lado do quadrado.
A fórmula para a taxa de variação média de em relação a é:
çãé
Onde:
é a variação da área.
é a variação do lado do quadrado.
e são os valores iniciais e finais de .
Passo 3
Vamos calcular a taxa de variação média quando varia de 4 cm a 4,6 cm.
Primeiro, calculamos a área correspondente a cada valor de :
Então:
Agora, aplicamos na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos calcular a taxa de variação média quando varia de 4 cm a 4,1 cm.
Primeiro, calculamos as áreas:
Aplicando na fórmula:
Passo 5
Agora, para encontrar a taxa de variação instantânea de em relação a quando . Isso é basicamente a derivada de em relação a no ponto .
A derivada de em relação a é:
Então, substituindo :
Resposta
(a) A taxa de variação média de em relação a quando varia de 4 a 4,6 cm é aproximadamente cm, e quando varia de 4 a 4,1 cm é cm.
(b) A taxa de variação instantânea de em relação a quando é 4 cm é cm.