6^a Questão: Seja A(em cm²) a área de um quadrado e s(em cm) o comprimento do lado do quadrado.
(a) encontre a taxa de variaçaõ média de A em relação a s, quando s varia de 4 a 4,6 e de 4 a 4,1 ;
(b) determine a taxa de variação instantânea de A em relação a s, quando s é 4 .

Passo 1

Então, galera, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a área de um quadrado, que chamamos de (em centímetros quadrados, cm²), e o comprimento do lado desse quadrado, que é (em centímetros, cm). A gente vai precisar usar conceitos de taxa de variação média e taxa de variação instantânea, que estão relacionados ao cálculo de derivadas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a taxa de variação média. Basicamente, ela nos diz como uma quantidade muda em relação a outra, de forma média, entre dois pontos. No nosso caso, queremos ver como a área varia em relação ao lado do quadrado.
A fórmula para a taxa de variação média de em relação a é:
çãé
Onde:
  • é a variação da área.
  • é a variação do lado do quadrado.
  • e são os valores iniciais e finais de .

Passo 3

Vamos calcular a taxa de variação média quando varia de 4 cm a 4,6 cm.
Primeiro, calculamos a área correspondente a cada valor de :
Então:
Agora, aplicamos na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular a taxa de variação média quando varia de 4 cm a 4,1 cm.
Primeiro, calculamos as áreas:
Aplicando na fórmula:

Passo 5

Agora, para encontrar a taxa de variação instantânea de em relação a quando . Isso é basicamente a derivada de em relação a no ponto .
A derivada de em relação a é:
Então, substituindo :

Resposta

(a) A taxa de variação média de em relação a quando varia de 4 a 4,6 cm é aproximadamente cm, e quando varia de 4 a 4,1 cm é cm.
(b) A taxa de variação instantânea de em relação a quando é 4 cm é cm.

Exercícios relacionados

Calcule a derivada: f(x) = x^(1/2) * (x^2 + x - 4)
Calcule a derivada: f(x) = 3 * x^2 + raiz(cubica(x^4))
Calcule a derivada: h(z) = (8 - z + 3*z^2) / (2 - 9*z)
Calcule a derivada: f(w) = 2w / (w^3 - 7)