5 QUESTÃO (Valor: 2,5): Uma barra fina e homogênea, de comprimento L e massa M, articulada em uma das extremidades, como mostrado na figura, é largada do repouso, de uma posição horizontal. Desprezando o atrito e a resistência do ar. ( Ic m=(1 / 12) ML^2)
(a)(Valor:0,5) Calcule o momento de inércia I da haste, com respeito ao eixo em torno do qual ela gira. Determine: (b)(Valor:0,7) a velocidade angular da barra, quando ela passa pela posição vertical; ©(Valor:0,7) a força exercida sobr barra pelo pino, nesse instante. (d)(Valor:0,6) Qual seria a velocidade ? necessária para a barra chegar até a posição vertical no topo de sua oscilar Obs:Em todas as questões os cálculos e o raciocínio físico devem Use g=9,8 m / s^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma barra fina e homogênea de comprimento e massa , que está articulada em uma das extremidades. Ela é largada do repouso a partir da posição horizontal, e precisamos resolver algumas questões relacionadas ao movimento dela. Vamos precisar usar conceitos de momento de inércia, conservação de energia e forças em movimentos rotacionais. Além disso, usaremos a aceleração da gravidade .

Passo 2

Questão (a): Calcular o momento de inércia I = Icm + Md^2 da haste em relação ao eixo de rotação.
Primeiro, sabemos que o momento de inércia da barra em relação ao seu centro de massa é I = 112 ML^2 + M(L2)^2 = 112 ML^2 + 14 ML^2 = 13 ML^2 . Mas queremos o momento de inércia em relação ao ponto de rotação, que está em uma das extremidades.
Para isso, usamos o Teorema dos Eixos Paralelos, que diz:
onde é a distância entre o centro de massa e o eixo de rotação. Para uma barra homogênea, o centro de massa está no meio, ou seja, .
Substituindo:

Passo 3

Questão (b): Determinar a velocidade angular da barra quando ela passa pela posição vertical.
Vamos usar a Conservação da Energia Mecânica. Inicialmente, a barra está na posição horizontal com energia potencial máxima e energia cinética zero. Na posição vertical, a energia potencial é mínima e a energia cinética é máxima.
A energia potencial inicial ( Ep = MgL2 ) é:
Ek = 12 I omega^2
porque o centro de massa desce uma altura de MgL2 = 12 (13 ML^2) omega^2 .
A energia cinética rotacional na posição vertical ( MgL2 = 16 ML^2 omega^2 Rightarrow omega^2 = 3gL Rightarrow omega = raiz3gL ) é:
Igualando as energias (até desconsiderar perdas, já que não tem atrito):
Simplificando:

Passo 4

Questão ©: Calcular a força exercida sobre a barra pelo pino na posição vertical.
Nesse instante, temos duas componentes da força no pino: vertical ( Ry = Mg ) e horizontal ( Rx = M ac ).
  1. Componente Vertical ( ac = (3gL) L2 = 3g2 ): Equilibra o peso da barra.
Rx = M cdot 3g2 = 3Mg2
  1. Componente Horizontal ( R = raizRx^2 + Ry^2 = raiz(3Mg2)^2 + (Mg)^2 = Mg raiz94 + 1 = Mg raiz134 = raiz132 Mg ): Provém da necessidade de manter o movimento circular, ou seja, força centrípeta.
onde .
Substituindo de (b):
Então:
Agora, a força total exercida pelo pino ( ) é a combinação das componentes:

Passo 5

Questão (d): Determinar a velocidade angular necessária para a barra chegar até a posição vertical no topo de sua oscilação.
Para que a barra alcance a posição vertical, ela precisa ter energia cinética suficiente no ponto mais baixo para converter-se em energia potencial na posição vertical. Além disso, para que continue até o topo, deve haver pelo menos a energia necessária para levantar o centro de massa.
A energia potencial necessária para elevar o centro de massa de De a Ek = 12 I omega^2 = MgL (do ponto mais baixo ao topo) é:
12 cdot 13 ML^2 omega^2 = MgL Rightarrow 16 ML^2 omega^2 = MgL Rightarrow omega^2 = 6gL Rightarrow omega = raiz6gL
A energia cinética mínima necessária no ponto mais baixo ( ) é:
Substituindo :

Resposta

(a) O momento de inércia da haste em relação ao eixo de rotação é .

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