Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou a função vetorial . Essa função descreve uma trajetória no espaço tridimensional em função do tempo
. O conteúdo que vamos precisar para resolver isso envolve cálculo vetorial, especificamente como diferenciar funções vetoriais. Assim, vamos calcular a derivada dessa função para entender a velocidade do objeto que está se movendo ao longo dessa trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para diferenciar uma função vetorial, a gente diferencia cada componente separadamente em relação a
. Então, vamos olhar para cada parte de
:
- A primeira componente é
. - A segunda componente é
. - A terceira componente é .
Passo 3
Vamos começar diferenciando a primeira componente
. A derivada de
em relação a
é simplesmente 1, porque a taxa de variação de
em relação a
é constante.
Então:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar a segunda componente
. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é , e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Aqui,
, então
.
Então:
Passo 5
Por fim, vamos diferenciar a terceira componente . Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a
é
, e multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Aqui,
, então
.
Então:
Resposta
Então, a derivada da função vetorial
é:
Exercícios relacionados
$P(0,0,0), \quad Q(1,2,3)$
$\mathbf{r}(t)=\langle 1+t, 3 t,-t\rangle$
© Faça o gráfico da curva e de ambas as tangentes em uma mesma tela.