O raio de uma esfera mede 25 centímetros, com erro máximo de 0,1 centímetro. Use diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo: da área da superfície do esfera; 62,8
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre diferenciais, que faz parte do cálculo diferencial. O enunciado nos diz que temos o raio de uma esfera medindo 25 centímetros, com um erro máximo de 0,1 centímetro. Nosso objetivo é estimar o erro máximo no cálculo da área da superfície dessa esfera usando diferenciais. Para isso, vamos precisar saber a fórmula da área da superfície de uma esfera e entender como os diferenciais podem nos ajudar a aproximar esse erro.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar qual é a fórmula da área da superfície de uma esfera. A fórmula é:
onde
é a área da superfície e
é o raio da esfera.
Passo 3
Agora, queremos encontrar como um pequeno erro no raio (
) afeta a área da superfície (
). Para isso, vamos usar os diferenciais. O diferencial de
em relação a
é dado pela derivada de
em relação a
multiplicada por
:
Vamos calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Calculando a derivada de
em relação a
:
Então, o diferencial
fica:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores que temos:
-
cm -
cm
Substituindo na expressão:
Passo 6
Vamos calcular isso passo a passo:
Passo 7
Agora, vamos substituir o valor de
por aproximadamente 3,14 para obter um valor numérico:
Resposta
O erro máximo estimado no cálculo da área da superfície da esfera é de 62,8 centímetros quadrados.