O raio de uma esfera mede 25 centímetros, com erro máximo de 0,1 centímetro. Use diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo: da área da superfície do esfera; 62,8

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre diferenciais, que faz parte do cálculo diferencial. O enunciado nos diz que temos o raio de uma esfera medindo 25 centímetros, com um erro máximo de 0,1 centímetro. Nosso objetivo é estimar o erro máximo no cálculo da área da superfície dessa esfera usando diferenciais. Para isso, vamos precisar saber a fórmula da área da superfície de uma esfera e entender como os diferenciais podem nos ajudar a aproximar esse erro.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar qual é a fórmula da área da superfície de uma esfera. A fórmula é:
onde é a área da superfície e é o raio da esfera.

Passo 3

Agora, queremos encontrar como um pequeno erro no raio ( ) afeta a área da superfície ( ). Para isso, vamos usar os diferenciais. O diferencial de em relação a é dado pela derivada de em relação a multiplicada por :
Vamos calcular a derivada de em relação a .

Passo 4

Calculando a derivada de em relação a :
Então, o diferencial fica:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores que temos:
  • cm
  • cm
Substituindo na expressão:

Passo 6

Vamos calcular isso passo a passo:

Passo 7

Agora, vamos substituir o valor de por aproximadamente 3,14 para obter um valor numérico:

Resposta

O erro máximo estimado no cálculo da área da superfície da esfera é de 62,8 centímetros quadrados.

Exercícios relacionados