O raio de uma esfera mede 25 centímetros, com erro máximo de 0,1 centímetro. Use diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo: do volume da esfera. 785

Passo 1

Vamos lá! Temos uma esfera com raio de 25 centímetros, mas esse raio pode ter um erro máximo de 0,1 centímetro. Nosso objetivo é usar diferenciais para estimar qual será o erro máximo no cálculo do volume dessa esfera. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula do volume da esfera e entender como os diferenciais funcionam para estimar erros em medidas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula do volume de uma esfera em função do seu raio . A fórmula é:
Essa fórmula nos diz que o volume depende do cubo do raio.

Passo 3

Agora, para estimar o erro no volume causado pelo erro no raio, usamos os diferenciais. O diferencial de em relação a é dado por:
Onde:
  • é o erro no volume que queremos estimar.
  • é a derivada de em relação a .
  • é o erro no raio, que no nosso caso é 0,1 cm.

Passo 4

Vamos calcular a derivada . Derivando a fórmula do volume em relação a :
Então, a derivada do volume em relação ao raio é .

Passo 5

Agora, substituímos e na expressão do diferencial:
Sabemos que cm e cm. Vamos substituir esses valores:

Passo 6

Calculando os valores numéricos:
Agora, substituímos o valor de por aproximadamente 3,1416:

Resposta

O erro máximo no cálculo do volume da esfera é aproximadamente .

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