O raio de uma esfera mede 25 centímetros, com erro máximo de 0,1 centímetro. Use diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo: do volume da esfera. 785
Passo 1
Vamos lá! Temos uma esfera com raio de 25 centímetros, mas esse raio pode ter um erro máximo de 0,1 centímetro. Nosso objetivo é usar diferenciais para estimar qual será o erro máximo no cálculo do volume dessa esfera. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula do volume da esfera e entender como os diferenciais funcionam para estimar erros em medidas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula do volume
de uma esfera em função do seu raio
. A fórmula é:
Essa fórmula nos diz que o volume depende do cubo do raio.
Passo 3
Agora, para estimar o erro no volume causado pelo erro no raio, usamos os diferenciais. O diferencial de
em relação a
é dado por:
Onde:
-
é o erro no volume que queremos estimar. -
é a derivada de em relação a . -
é o erro no raio, que no nosso caso é 0,1 cm.
Passo 4
Vamos calcular a derivada
. Derivando a fórmula do volume em relação a
:
Então, a derivada do volume em relação ao raio é
.
Passo 5
Agora, substituímos
e
na expressão do diferencial:
Sabemos que
cm e
cm. Vamos substituir esses valores:
Passo 6
Calculando os valores numéricos:
Agora, substituímos o valor de
por aproximadamente 3,1416:
Resposta
O erro máximo no cálculo do volume da esfera é aproximadamente
.