As raízes da equação x²+21x+108=0 são, em centímetros, as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. A medida da altura relativa à hipotenusa desse triângulo é, em centímetros:
a) 6,6
b) 4,5
c) 4,8
d) 7,2
e) 7,5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma equação quadrática $ x^2 + 21x + 108 = 0 $. As raízes dessa equação representam as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. A gente precisa encontrar a altura relativa à hipotenusa desse triângulo. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para achar as raízes da equação e depois aplicar conhecimentos de geometria sobre triângulos retângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação quadrática $ x^2 + 21x + 108 = 0 $. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara, que é:
x^2 + 21x + 108 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 21 $ e $ c = 108 $.

Passo 3

Calculando o discriminante ($ \Delta $):
De
Como o discriminante é positivo, temos duas raízes reais diferentes.

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula de Bhaskara:
x = -21 pm raiz92 times 1 = -21 pm 32
Então, as duas raízes são:
x1 = -21 + 32 = -182 = -9
x2 = -21 - 32 = -242 = -12
Como medidas de comprimento não podem ser negativas, vamos considerar o valor absoluto dessas raízes. Portanto, os catetos do triângulo têm medidas de 9 cm e 12 cm.

Passo 5

Agora, temos um triângulo retângulo com catetos de 9 cm e 12 cm. Vamos encontrar a hipotenusa usando o Teorema de Pitágoras:
Hipotenusa = raiz9^2 + 12^2 = raiz81 + 144 = raiz225 = 15 cm

Passo 6

A altura relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo pode ser calculada usando a fórmula:
h = (cateto1) times (cateto2)Hipotenusa
Substituindo os valores:
h = 9 times 1215 = 10815 = 7,2 cm

Resposta

A medida da altura relativa à hipotenusa é 7,2 centímetros. Portanto, a alternativa correta é a letra d) 7,2.

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