As raízes da equação x²+21x+108=0 são, em centímetros, as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. A medida da altura relativa à hipotenusa desse triângulo é, em centímetros:
a) 6,6
b) 4,5
c) 4,8
d) 7,2
e) 7,5.
a) 6,6
b) 4,5
c) 4,8
d) 7,2
e) 7,5.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma equação quadrática $ x^2 + 21x + 108 = 0 $. As raízes dessa equação representam as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. A gente precisa encontrar a altura relativa à hipotenusa desse triângulo. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para achar as raízes da equação e depois aplicar conhecimentos de geometria sobre triângulos retângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação quadrática $ x^2 + 21x + 108 = 0 $. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara, que é:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 21 $ e $ c = 108 $.
Passo 3
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Como o discriminante é positivo, temos duas raízes reais diferentes.
Passo 4
Agora, aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, as duas raízes são:
Como medidas de comprimento não podem ser negativas, vamos considerar o valor absoluto dessas raízes. Portanto, os catetos do triângulo têm medidas de 9 cm e 12 cm.
Passo 5
Agora, temos um triângulo retângulo com catetos de 9 cm e 12 cm. Vamos encontrar a hipotenusa usando o Teorema de Pitágoras:
Passo 6
A altura relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo pode ser calculada usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
A medida da altura relativa à hipotenusa é 7,2 centímetros. Portanto, a alternativa correta é a letra d) 7,2.