A razão entre o perímetro do quadrado circunscrito a uma circunferência de raio 2 cm e o perímetro do quadrado inscrito a essa mesma circunferência é​

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a razão entre o perímetro de um quadrado circunscrito a uma circunferência de raio 2 cm e o perímetro de um quadrado inscrito nessa mesma circunferência. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria envolvendo circunferências e quadrados. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um quadrado circunscrito e um quadrado inscrito em uma circunferência.
  • Quadrado Circunscrito: É o quadrado que envolve a circunferência, ou seja, a circunferência está dentro do quadrado e toca cada um dos lados do quadrado exatamente uma vez.
  • Quadrado Inscrito: É o quadrado que está dentro da circunferência, ou seja, os vértices do quadrado estão sobre a circunferência.

Passo 3

Vamos começar encontrando o perímetro do quadrado circunscrito. Para isso, precisamos saber qual é o lado desse quadrado.
Sabemos que a circunferência está dentro do quadrado e toca todos os seus lados. O diâmetro da circunferência é igual ao lado do quadrado circunscrito.
Sabendo que o raio da circunferência é 2 cm, o diâmetro será:
Diâmetro = 2 times Raio = 2 times 2 , cm = 4 , cm â
Então, o lado do quadrado circunscrito é 4 cm. Agora, o perímetro do quadrado circunscrito ( Pc) é:
Pc = 4 times lado = 4 times 4 , cm = 16 , cm

Passo 4

Agora, vamos encontrar o perímetro do quadrado inscrito. Para isso, precisamos determinar o lado desse quadrado.
Quando um quadrado está inscrito em uma circunferência, a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência. Vamos usar essa informação para encontrar o lado do quadrado inscrito.
Sabemos que a diagonal ( d) de um quadrado está relacionada ao seu lado ( a) pela fórmula:
d = a times raiz2
Sabendo que o diâmetro da circunferência é 4 cm, temos:
4 = a times raiz2
Resolvendo para a:
a = 4raiz2 = 4 raiz22 = 2 raiz2 , cm
Agora, o perímetro do quadrado inscrito ( Pi) é:
Pi = 4 times lado = 4 times 2 raiz2 , cm = 8 raiz2 , cm

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a razão entre os perímetros:
Razão = PcPi = 168 raiz2 = 168 times 1,4142 approx 1611,3136 approx 1,4142 ã
Mas, reconhecendo que raiz2 approx 1,4142, podemos simplificar a razão para:
Razão = raiz2 ã

Resposta

A razão entre os perímetros é igual a raiz2.

Exercícios relacionados