A razão entre o perímetro do quadrado circunscrito a uma circunferência de raio 2 cm e o perímetro do quadrado inscrito a essa mesma circunferência é
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a razão entre o perímetro de um quadrado circunscrito a uma circunferência de raio 2 cm e o perímetro de um quadrado inscrito nessa mesma circunferência. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria envolvendo circunferências e quadrados. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um quadrado circunscrito e um quadrado inscrito em uma circunferência.
-
Quadrado Circunscrito: É o quadrado que envolve a circunferência, ou seja, a circunferência está dentro do quadrado e toca cada um dos lados do quadrado exatamente uma vez.
-
Quadrado Inscrito: É o quadrado que está dentro da circunferência, ou seja, os vértices do quadrado estão sobre a circunferência.
Passo 3
Vamos começar encontrando o perímetro do quadrado circunscrito. Para isso, precisamos saber qual é o lado desse quadrado.
Sabemos que a circunferência está dentro do quadrado e toca todos os seus lados. O diâmetro da circunferência é igual ao lado do quadrado circunscrito.
Sabendo que o raio da circunferência é 2 cm, o diâmetro será:
Então, o lado do quadrado circunscrito é 4 cm. Agora, o perímetro do quadrado circunscrito (
) é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o perímetro do quadrado inscrito. Para isso, precisamos determinar o lado desse quadrado.
Quando um quadrado está inscrito em uma circunferência, a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência. Vamos usar essa informação para encontrar o lado do quadrado inscrito.
Sabemos que a diagonal (
) de um quadrado está relacionada ao seu lado (
) pela fórmula:
Sabendo que o diâmetro da circunferência é 4 cm, temos:
Resolvendo para
:
Agora, o perímetro do quadrado inscrito (
) é:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular a razão entre os perímetros:
Mas, reconhecendo que
, podemos simplificar a razão para:
Resposta
A razão entre os perímetros é igual a
.