Um reservatório foi construído no formato de um cone reto, com raio de 4 m e altura de 3 m. Para a conservação do reservatório, foi contratado um pintor que cobra R$4,00 por m² para pintar a área externa. Diante dessa situação, qual será o valor gasto para pintar o reservatório todo? (Use π = 3,14)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um reservatório em forma de cone reto, e queremos saber quanto vai custar pintar toda a área externa dele. Para isso, vamos usar conceitos de geometria, especificamente sobre cones. Precisamos calcular a área total externa do cone e depois multiplicar pelo custo da pintura por metro quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um cone reto. Um cone reto tem uma base circular e uma superfície lateral que se encontra em um ponto chamado vértice. Para calcular a área externa, precisamos das seguintes informações:
- Raio ®: já que a base é um círculo, o raio é de 4 metros.
- Altura (h): a distância do vértice até o centro da base, que é de 3 metros.
Mas para calcular a área externa, precisamos também da geratriz (g), que é a distância do vértice até qualquer ponto na borda da base. Podemos encontrar a geratriz usando o Teorema de Pitágoras:
Vamos calcular isso agora.
Passo 3
Usando o Teorema de Pitágoras:
Então, a geratriz do cone é de 5 metros.
Passo 4
Agora que temos a geratriz, podemos calcular a área lateral (a parte que precisa ser pintada) do cone. A fórmula para a área lateral de um cone é:
Vamos substituir os valores:
Passo 5
Além da área lateral, precisamos considerar a área da base do cone, pois é parte da área externa que também precisa ser pintada. A fórmula para a área da base de um círculo é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, somamos a área lateral com a área da base para encontrar a área total externa que será pintada:
Passo 7
Por fim, para descobrir o custo total da pintura, multiplicamos a área total pelo custo por metro quadrado:
Resposta
O valor gasto para pintar todo o reservatório será de R$452,16.