Um reservatório foi construído no formato de um cone reto, com raio de 4 m e altura de 3 m. Para a conservação do reservatório, foi contratado um pintor que cobra R$4,00 por m² para pintar a área externa. Diante dessa situação, qual será o valor gasto para pintar o reservatório todo? (Use π = 3,14)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um reservatório em forma de cone reto, e queremos saber quanto vai custar pintar toda a área externa dele. Para isso, vamos usar conceitos de geometria, especificamente sobre cones. Precisamos calcular a área total externa do cone e depois multiplicar pelo custo da pintura por metro quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um cone reto. Um cone reto tem uma base circular e uma superfície lateral que se encontra em um ponto chamado vértice. Para calcular a área externa, precisamos das seguintes informações:
  • Raio ®: já que a base é um círculo, o raio é de 4 metros.
  • Altura (h): a distância do vértice até o centro da base, que é de 3 metros.
Mas para calcular a área externa, precisamos também da geratriz (g), que é a distância do vértice até qualquer ponto na borda da base. Podemos encontrar a geratriz usando o Teorema de Pitágoras:
g = raizr^2 + h^2
Vamos calcular isso agora.

Passo 3

Usando o Teorema de Pitágoras:
g = raiz4^2 + 3^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5 metros
Então, a geratriz do cone é de 5 metros.

Passo 4

Agora que temos a geratriz, podemos calcular a área lateral (a parte que precisa ser pintada) do cone. A fórmula para a área lateral de um cone é:
Alateral = pi times r times g
Vamos substituir os valores:
Alateral = 3,14 times 4 times 5 = 3,14 times 20 = 62,8 m² ²

Passo 5

Além da área lateral, precisamos considerar a área da base do cone, pois é parte da área externa que também precisa ser pintada. A fórmula para a área da base de um círculo é:
Abase = pi times r^2
Substituindo os valores:
Abase = 3,14 times 4^2 = 3,14 times 16 = 50,24 m² ²

Passo 6

Agora, somamos a área lateral com a área da base para encontrar a área total externa que será pintada:
Atotal = Alateral + Abase = 62,8 + 50,24 = 113,04 m² ²

Passo 7

Por fim, para descobrir o custo total da pintura, multiplicamos a área total pelo custo por metro quadrado:
Custo Total = Atotal times Custo por m² = 113,04 times 4 = 452,16 Reais ²

Resposta

O valor gasto para pintar todo o reservatório será de R$452,16.

Exercícios relacionados