Para reaçōes químicas consecutivas de primeira ordem, representadas por.
onde k1 e k2 são constantes de taxa, ocorrendo a densidade constante em um reator em batelada ou de fluxo pistão, a concentração máxima obtida pela espécie intermediária B é:
CB, max =CA 0 m^1 /(1-m)
onde dotm=k1 / k2, e CA 0 é a concentração inicial de A. Quando m=1(k1=k2), isso se reduz à forma indeterminada CA 0 1^infty.
Determine CB ,max nessa situação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre reações químicas de primeira ordem que acontecem uma depois da outra: A vira B, e depois B vira C. A gente quer descobrir qual é a concentração máxima de B quando as taxas das duas reações são iguais, ou seja, quando . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre taxas de reação e como calcular limites matemáticos quando as fórmulas ficam indeterminadas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a fórmula que nos dá a concentração máxima de B:
CB, max = CA0 cdot m^11 - m
Aqui, CB, max = CA0 cdot 1^infty e é a concentração inicial de A. O problema acontece quando , ou seja, quando . Nesse caso, a fórmula fica:
Isso é uma forma indeterminada porque não é um número definido. Para resolver isso, precisamos calcular o limite dessa expressão quando se aproxima de 1.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão usando logaritmos para facilitar o cálculo do limite:
ln(CB, max) = ln(CA0) + 11 - m cdot ln(m)
Agora, queremos encontrar:
limm to 1 ln(CB, max) = ln(CA0) + limm to 1 ln(m)1 - m
Passo 4
O limite que precisamos calcular é:
limm to 1 ln(m)1 - m
Quando limm to 1 1m-1 = -1 se aproxima de 1, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0, formando uma indeterminação do tipo . Nesse caso, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente:
Para encontrar CB, max = e^ln(CA0) - 1 = e^ln(CA0) cdot e^-1 = CA0 cdot e^-1 , precisamos desfazer o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Resposta
Assim, quando CB, max = CA0e , a concentração máxima de B é: