Um recipiente circular, parcialmente cheio com água, é girado em torno do seu eixo com velocidade angular constante, . Em um instante qualquer, , após o início da rotação, a velocidade, V , na distância normal r em relação ao eixo de rotação, foi determinada como uma função de , e das propriedades do líquido. Escreva os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema. Se, em outra experiência, mel for girado no mesmo cilindro com a mesma velocidade angular, avalie, usando seus parâmetros adimensionais, se o mel atingirá um movimento permanente tão rápido quanto a água. Explique por que o número de Reynolds não seria um parâmetro adimensional importante na modelagem do movimento do líquido em regime permanente no recipiente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma geral no que precisamos resolver aqui! A gente tem um recipiente circular, meio cheio de água, que está girando em torno do seu eixo com uma velocidade angular constante, chamada de . Queremos escrever os parâmetros adimensionais que caracterizam esse problema. Depois, vamos pensar num experimento onde, em vez de água, a gente gira mel no mesmo cilindro com a mesma velocidade angular e avaliar, usando esses parâmetros adimensionais, se o mel vai atingir o movimento permanente tão rápido quanto a água. Por fim, vamos entender por que o número de Reynolds não é um parâmetro importante para modelar o movimento permanente do líquido no recipiente.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dimensionalização e parâmetros adimensionais da mecânica dos fluidos, como o número de Reynolds.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são parâmetros adimensionais. Eles são combinações de variáveis do problema que não têm unidades, ou seja, seus valores são os mesmos independentemente das unidades que usamos. Eles nos ajudam a generalizar problemas e comparar diferentes situações.
Para encontrar esses parâmetros, podemos usar o Teorema de Pi de Buckingham, que nos ajuda a identificar grupos adimensionais relevantes a partir das variáveis envolvidas no problema.

Passo 3

Vamos listar as variáveis que estão envolvidas no problema:
  1. Velocidade Angular ( ) - que tem unidade de rad/s.
  2. Tempo ( ) - em segundos (s).
  3. Distância radial ( ) - em metros (m).
  4. Propriedades do líquido:
    • Densidade ( ) - em kg/m³.
    • Viscosidade Dinâmica ( ) - em Pa·s.
Essas são as principais variáveis que vamos usar para formar os parâmetros adimensionais.

Passo 4

Agora, usando o Teorema de Pi de Buckingham, sabemos que se temos variáveis e dimensões independentes (nesse caso, massa [M], comprimento [L] e tempo [T]), então podemos formar grupos adimensionais.
Aqui temos 5 variáveis e 3 dimensões (M, L, T), então:
Isso significa que vamos ter 2 parâmetros adimensionais que caracterizam o problema.

Passo 5

Vamos escolher nossas variáveis base para formar os grupos adimensionais. Normalmente, selecionamos variáveis que exemplifiquem as diferentes dimensões. Vamos escolher:
  • Massa: (densidade)
  • Comprimento: (distância radial)
  • Tempo: (tempo)
Agora, queremos combinar as outras variáveis ( e ) com essas para formar grupos adimensionais.

Passo 6

Primeiro, vamos formar um parâmetro adimensional envolvendo a viscosidade ( ). Uma combinação comum é o número de Reynolds (Re), que já é um parâmetro conhecido na mecânica dos fluidos:
Esse número adimensiona a relação entre as forças inerciais e as forças viscosas no fluido.

Passo 7

O segundo parâmetro adimensional pode ser formado combinando a velocidade angular ( ) com o tempo ( ). Uma forma de fazer isso é considerar o número adimensional:
Esse número nos dá uma ideia de quantas rotações ocorrem durante o tempo .

Passo 8

Então, os parâmetros adimensionais que caracterizam o problema são:
  1. Número de Reynolds (Re):
  1. Produto adimensional de velocidade angular e tempo ( ):

Passo 9

Agora, vamos considerar o caso do mel sendo girado no mesmo cilindro com a mesma velocidade angular. O mel tem uma viscosidade muito maior que a água. Vamos ver como isso afeta os parâmetros adimensionais.
Para a água, temos um certo Re, e para o mel, que tem uma viscosidade maior ( á), o número de Reynolds será menor:
á
Isso indica que as forças viscosas são mais dominantes no mel. Porém, o parâmetro permanece o mesmo, já que e são constantes.

Passo 10

Usando os parâmetros adimensionais, vemos que para o mel (com maior viscosidade), o número de Reynolds é menor, o que significa que a resistência viscosa é maior e o fluido tende a atingir o movimento permanente mais lentamente. Portanto, o mel não atingirá o movimento permanente tão rápido quanto a água sob as mesmas condições de rotação.

Passo 11

Por fim, por que o número de Reynolds não seria um parâmetro adimensional importante na modelagem do movimento permanente do líquido no recipiente?
O número de Reynolds é crucial para entender a transição entre fluxo laminar e turbulento, e para a relação entre forças inerciais e viscosas. Porém, no caso do movimento permanente (steady state), o fluxo já atingiu um equilíbrio onde as forças estão balanceadas. Nesse regime, as variações dinâmicas que o número de Reynolds descreve já não influenciam mais o comportamento do fluxo, tornando-o um parâmetro menos relevante para modelar o movimento estacionário.

Resposta

Os parâmetros adimensionais que caracterizam o problema são o número de Reynolds, dado por , e o produto adimensional . Ao considerar o mel com maior viscosidade, observamos que seu número de Reynolds é menor, indicando que o movimento permanente levará mais tempo para ser atingido em comparação com a água. Além disso, o número de Reynolds não é relevante para modelar o movimento permanente porque, nesse regime, as forças já estão equilibradas e as variações dinâmicas associadas ao Re não afetam mais o comportamento estável do fluxo.

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