Um recipiente circular, parcialmente cheio com água, é girado em torno do seu eixo com velocidade angular constante, omega. Em um instante qualquer, tau, após o início da rotação, a velocidade, V theta, na distância normal r em relação ao eixo de rotação, foi determinada como uma função de tau, omega e das propriedades do líquido. Escreva os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema. Se, em outra experiência, mel for girado no mesmo cilindro com a mesma velocidade angular, avalie, usando seus parâmetros adimensionais, se o mel atingirá um movimento permanente tão rápido quanto a água. Explique por que o número de Reynolds não seria um parâmetro adimensional importante na modelagem do movimento do líquido em regime permanente no recipiente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma geral no que precisamos resolver aqui! A gente tem um recipiente circular, meio cheio de água, que está girando em torno do seu eixo com uma velocidade angular constante, chamada de omega. Queremos escrever os parâmetros adimensionais que caracterizam esse problema. Depois, vamos pensar num experimento onde, em vez de água, a gente gira mel no mesmo cilindro com a mesma velocidade angular e avaliar, usando esses parâmetros adimensionais, se o mel vai atingir o movimento permanente tão rápido quanto a água. Por fim, vamos entender por que o número de Reynolds não é um parâmetro importante para modelar o movimento permanente do líquido no recipiente.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dimensionalização e parâmetros adimensionais da mecânica dos fluidos, como o número de Reynolds.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são parâmetros adimensionais. Eles são combinações de variáveis do problema que não têm unidades, ou seja, seus valores são os mesmos independentemente das unidades que usamos. Eles nos ajudam a generalizar problemas e comparar diferentes situações.
Para encontrar esses parâmetros, podemos usar o Teorema de Pi de Buckingham, que nos ajuda a identificar grupos adimensionais relevantes a partir das variáveis envolvidas no problema.

Passo 3

Vamos listar as variáveis que estão envolvidas no problema:
  1. Velocidade Angular ( omega) - que tem unidade de rad/s.
  2. Tempo ( tau) - em segundos (s).
  3. Distância radial ( r) - em metros (m).
  4. Propriedades do líquido:
    • Densidade ( rho) - em kg/m³.
    • Viscosidade Dinâmica ( mu) - em Pa·s.
Essas são as principais variáveis que vamos usar para formar os parâmetros adimensionais.

Passo 4

Agora, usando o Teorema de Pi de Buckingham, sabemos que se temos n variáveis e k dimensões independentes (nesse caso, massa [M], comprimento [L] e tempo [T]), então podemos formar n - k grupos adimensionais.
Aqui temos 5 variáveis e 3 dimensões (M, L, T), então:
5 - 3 = 2
Isso significa que vamos ter 2 parâmetros adimensionais que caracterizam o problema.

Passo 5

Vamos escolher nossas variáveis base para formar os grupos adimensionais. Normalmente, selecionamos variáveis que exemplifiquem as diferentes dimensões. Vamos escolher:
  • Massa: rho (densidade)
  • Comprimento: r (distância radial)
  • Tempo: tau (tempo)
Agora, queremos combinar as outras variáveis ( omega e mu) com essas para formar grupos adimensionais.

Passo 6

Primeiro, vamos formar um parâmetro adimensional envolvendo a viscosidade ( mu). Uma combinação comum é o número de Reynolds (Re), que já é um parâmetro conhecido na mecânica dos fluidos:
Re = rho omega r^2mu
Esse número adimensiona a relação entre as forças inerciais e as forças viscosas no fluido.

Passo 7

O segundo parâmetro adimensional pode ser formado combinando a velocidade angular ( omega) com o tempo ( tau). Uma forma de fazer isso é considerar o número adimensional:
Pi = omega tau
Esse número nos dá uma ideia de quantas rotações ocorrem durante o tempo tau.

Passo 8

Então, os parâmetros adimensionais que caracterizam o problema são:
  1. Número de Reynolds (Re):
Re = rho omega r^2mu
  1. Produto adimensional de velocidade angular e tempo ( omega tau):
Pi = omega tau

Passo 9

Agora, vamos considerar o caso do mel sendo girado no mesmo cilindro com a mesma velocidade angular. O mel tem uma viscosidade muito maior que a água. Vamos ver como isso afeta os parâmetros adimensionais.
Para a água, temos um certo Re, e para o mel, que tem uma viscosidade maior ( mumel > muáguaá), o número de Reynolds será menor:
Remel = rhomel omega r^2mumel < Reágua á
Isso indica que as forças viscosas são mais dominantes no mel. Porém, o parâmetro omega tau permanece o mesmo, já que omega e tau são constantes.

Passo 10

Usando os parâmetros adimensionais, vemos que para o mel (com maior viscosidade), o número de Reynolds é menor, o que significa que a resistência viscosa é maior e o fluido tende a atingir o movimento permanente mais lentamente. Portanto, o mel não atingirá o movimento permanente tão rápido quanto a água sob as mesmas condições de rotação.

Passo 11

Por fim, por que o número de Reynolds não seria um parâmetro adimensional importante na modelagem do movimento permanente do líquido no recipiente?
O número de Reynolds é crucial para entender a transição entre fluxo laminar e turbulento, e para a relação entre forças inerciais e viscosas. Porém, no caso do movimento permanente (steady state), o fluxo já atingiu um equilíbrio onde as forças estão balanceadas. Nesse regime, as variações dinâmicas que o número de Reynolds descreve já não influenciam mais o comportamento do fluxo, tornando-o um parâmetro menos relevante para modelar o movimento estacionário.

Resposta

Os parâmetros adimensionais que caracterizam o problema são o número de Reynolds, dado por Re = rho omega r^2mu, e o produto adimensional omega tau. Ao considerar o mel com maior viscosidade, observamos que seu número de Reynolds é menor, indicando que o movimento permanente levará mais tempo para ser atingido em comparação com a água. Além disso, o número de Reynolds não é relevante para modelar o movimento permanente porque, nesse regime, as forças já estão equilibradas e as variações dinâmicas associadas ao Re não afetam mais o comportamento estável do fluxo.

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