Refaça a atividader para as seguintes funçòs, (na qustàs (1), só traça o grífico)
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Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente precisa refazer a atividade para a função
. Isso envolve entender como essa função se comporta, desenhar o gráfico e falar um pouco sobre suas características. Para isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais, domínio, imagem, interceptos e talvez derivadas se precisar. Mas vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa é uma função exponencial onde a base é o número de Euler,
, elevado a
. Funções exponenciais são muito importantes porque elas crescem ou decrescem rápido, dependendo do expoente.
Passo 3
Vamos identificar o domínio da função. O domínio é o conjunto de valores de
para os quais a função está definida. Como a exponencial está definida para todos os números reais, o domínio aqui é:
Passo 4
Agora, vamos ver a imagem (ou conjunto de valores que
pode assumir). Para
, como
é sempre positivo, e multiplicado por -1 no expoente só inverte o crescimento para decrescimento, então:
Logo, a imagem é todos os números positivos:
Passo 5
Vamos encontrar os interceptos. Primeiro, o intercepto com o eixo y acontece quando
:
Então, o ponto de intercepto com o eixo y é
.
Para o intercepto com o eixo x, resolvemos
:
Mas a função exponencial nunca é zero, então não há intercepto com o eixo x.
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento da função para
indo para
e
:
- Para
: A função se aproxima de zero. - Para
: A função cresce sem limites.
Passo 7
Vamos derivar a função para entender a taxa de variação:
A derivada de
em relação a
é
. Aqui,
, então
. Assim:
Isso significa que a função está sempre decrescendo, já que a derivada é sempre negativa.
Passo 8
Vamos desenhar o gráfico com base nas informações que coletamos:
- A função passa pelo ponto
. - Não cruza o eixo x.
- Assíntota horizontal em
. - Decresce continuamente.
![Gráfico de f(x) = e^{-x}](https://i.imgur.com/yourgraphlink.png)
(Substitua pelo link real do gráfico se necessário.)
Resposta
A função
tem domínio em todos os números reais, imagem nos números positivos, intercepta o eixo y no ponto
, nunca intercepta o eixo x, aproxima-se de zero para
indo para
e cresce sem limites para
indo para
. Sua derivada é
, indicando que a função está sempre decrescendo. O gráfico apresenta essas características com uma assíntota horizontal em
.
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