Em uma regata, dois barcos com massas diferentes (
) percorrem a mesma distância, sem qualquer tipo de atrito, partindo do repouso. Durante o trajeto, as forças resultantes em cada barco são exatamente iguais e constantes. Quando o barco com massa maior,
, cruza a linha de chegada, qual a relação que sua energia cinética,
, e seu momento linear (quantidade de movimento,
) possuem com as mesmas grandezas (
) do barco de massa menor,
, quando este último cruza a linha de chegada?
Escolha uma opção:
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Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem duas embarcações com massas diferentes, onde $ m_{1} > m_{2}
m_{1}
E_{1}
p_{1}
E_{2}
p_{2}
m_{2} $) que termina depois. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, como força, massa, aceleração, energia cinética e momento linear.
Passo 2
Primeiro, como as forças são iguais nos dois barcos ($ F_{1} = F_{2} = F $) e não tem atrito, a aceleração de cada barco pode ser calculada usando a segunda lei de Newton: $ F = m \cdot a
a_{1} $) é $ a_{1} = \frac{F}{m_{1}} $ e a do barco mais leve ($ a_{2} = \frac{F}{m_{2}} $). Já que $ m_{1} > m_{2} $, fica claro que $ a_{1} < a_{2} $.
Passo 3
Ambos os barcos percorrem a mesma distância $ s $. Podemos usar a equação do movimento para partir do repouso: $ s = \frac{1}{2} a t^{2} $. Resolvendo para o tempo, temos $ t = \sqrt{\frac{2s}{a}} $. Então, o tempo que o barco mais pesado leva para chegar ao fim é $ t_{1} = \sqrt{\frac{2s}{a_{1}}} $ e o tempo do barco mais leve é $ t_{2} = \sqrt{\frac{2s}{a_{2}}} $. Como $ a_{1} < a_{2} $, isso significa que $ t_{1} > t_{2} $.
Passo 4
Agora, vamos calcular as velocidades dos barcos quando o barco mais pesado termina a corrida. A velocidade final é dada por $ v = a \cdot t $. Para o barco mais pesado: $ v_{1} = a_{1} \cdot t_{1} $ e para o barco mais leve: $ v_{2} = a_{2} \cdot t_{1} $ (porque o barco leve já está se movendo quando o mais pesado termina). Substituindo $ a_{1} $ e $ a_{2} $:
Passo 5
Agora, vamos calcular o momento linear de cada barco, que é dado por $ p = m \cdot v $. Para o barco mais pesado:
Para o barco mais leve:
Então, $ p_{1} = p_{2} $.
Passo 6
Vamos agora calcular a energia cinética de cada barco, que é dada por $ E = \frac{1}{2} m v^{2} $. Para o barco mais pesado:
Para o barco mais leve:
Como $ m_{1} > m_{2} $, então $ \frac{F^{2}}{m_{1}} < \frac{F^{2}}{m_{2}} $, o que significa que $ E_{1} < E_{2} $.
Resposta
$ E_{1} < E_{2} $ e $ p_{1} = p_{2} $