Problema 4: O campo elétrico em determinada região do espaço é dado pela expressão
, em que
é uma constante conhecida. Estamos interessados em calcular a diferença de potencial elétrico
, em que
é o valor do potencial no ponto
(determinado por um vetor
) e
é o valor do potencial no ponto
(determinado por um vetor
).
Sendo que
, justifique que
Sendo que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre calcular a diferença de potencial elétrico entre dois pontos $ A $ e $ B $ num campo elétrico dado por $ \vec{E}(x, y, z) = \alpha x \hat{x} $. A gente vai precisar entender como relacionar o campo elétrico com a diferença de potencial usando integrais.
Passo 2
Primeiro, lembra que o potencial elétrico $ V $ está ligado ao campo elétrico $ \vec{E} $ pela relação:
Isso significa que o potencial num ponto $ \vec{r} $ é a integral negativa do campo elétrico ao longo de um caminho de um ponto de referência $ \vec{r}_0 $ até $ \vec{r} $.
Passo 3
Queremos encontrar $ V_B - V_A $, que é a diferença de potencial entre os pontos $ B $ e $ A $. Vamos escrever cada potencial usando a fórmula acima:
Passo 4
Agora, para achar $ V_B - V_A $, subtraímos as duas expressões:
Note que a integral de $ V_A $ está com sinal positivo porque subtraímos $ V_A $.
Passo 5
Vamos manipular as integrais para simplificar. A soma das integrais pode ser vista como uma única integral do ponto $ A $ ao ponto $ B $:
Isso ocorre porque ao juntar as integrais, o caminho de $ \vec{r}_0 $ para $ \vec{r}_A $ cancela parte da integral de $ \vec{r}_0 $ para $ \vec{r}_B $, restando apenas o caminho de $ A $ para $ B $.
Resposta
Assim, demonstramos que: