Problema 4: O campo elétrico em determinada região do espaço é dado pela expressão E(x, y, z)=alpha x x, em que alpha é uma constante conhecida. Estamos interessados em calcular a diferença de potencial elétrico VB-VA, em que VA é o valor do potencial no ponto A (determinado por um vetor rA ) e VB é o valor do potencial no ponto B (determinado por um vetor rB ).
Sendo que V(r)=-integralr0^r E cdot d s, justifique que (0,50)
VB-VA=-integralr0^rB E cdot d s+integralr0^rA E cdot d s=-integralrA^rB E cdot d s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre calcular a diferença de potencial elétrico entre dois pontos $ A $ e $ B $ num campo elétrico dado por $ \vec{E}(x, y, z) = \alpha x \hat{x} $. A gente vai precisar entender como relacionar o campo elétrico com a diferença de potencial usando integrais.

Passo 2

Primeiro, lembra que o potencial elétrico $ V $ está ligado ao campo elétrico $ \vec{E} $ pela relação:
V
Isso significa que o potencial num ponto $ \vec{r} $ é a integral negativa do campo elétrico ao longo de um caminho de um ponto de referência $ \vec{r}_0 $ até $ \vec{r} $.

Passo 3

Queremos encontrar $ V_B - V_A $, que é a diferença de potencial entre os pontos $ B $ e $ A $. Vamos escrever cada potencial usando a fórmula acima:
VB - VA
B

Passo 4

Agora, para achar $ V_B - V_A $, subtraímos as duas expressões:
VB - VA
Note que a integral de $ V_A $ está com sinal positivo porque subtraímos $ V_A $.

Passo 5

Vamos manipular as integrais para simplificar. A soma das integrais pode ser vista como uma única integral do ponto $ A $ ao ponto $ B $:
A
Isso ocorre porque ao juntar as integrais, o caminho de $ \vec{r}_0 $ para $ \vec{r}_A $ cancela parte da integral de $ \vec{r}_0 $ para $ \vec{r}_B $, restando apenas o caminho de $ A $ para $ B $.

Resposta

Assim, demonstramos que:
VB - VA = -integralrA^rB E cdot d s

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