Com a regra da cadeia, podemos determinar como pequenas mudanças nas variáveis independentes afetam a função composta. Sejam as funções f ( x , y ) = e x y , g ( t ) = cos t , h ( t ) = sen t e F ( t ) = f ( g ( t ) , h ( t ) ) , calcule F ′ ( 0 ) .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular $ F’(0) $, onde $ F(t) = f(g(t), h(t)) $. Aqui, estamos trabalhando com a Regra da Cadeia, que faz parte do cálculo diferencial. Precisamos entender como pequenas mudanças em $ t $ afetam a função composta $ F(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas:
  • $ f(x, y) = e^{xy} $
  • $ g(t) = \cos t $
  • $ h(t) = \sin t $
  • $ F(t) = f(g(t), h(t)) = e^{g(t) \cdot h(t)} $

Passo 3

Para encontrar $ F’(t) $, aplicamos a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. A derivada de $ F(t) $ em relação a $ t $ é dada por:
F'(t)

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $:
  • Derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
f
  • Derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
f

Passo 5

Agora, calculamos as derivadas de $ g(t) $ e $ h(t) $ em relação a $ t $:
  • Derivada de $ g(t) $:
g(t)
  • Derivada de $ h(t) $:
h(t)

Passo 6

Substituímos todas as derivadas na expressão de $ F’(t) $:
F'(t)

Passo 7

Simplificamos a expressão:
F'(t) = e^g(t) h(t) ( -h(t) cdot sin t + g(t) cdot cos t )

Passo 8

Agora, avaliamos $ F’(t) $ no ponto $ t = 0 $:
Primeiro, calculamos $ g(0) $ e $ h(0) $:
F'(t)
t = 0
Substituindo na expressão de $ F’(t) $:
g(0)
h(0)
g(0) = cos 0 = 1

Resposta

F'(0) = 1

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