Com a regra da cadeia, podemos determinar como pequenas mudanças nas variáveis independentes afetam a função composta. Sejam as funções f ( x , y ) = e x y , g ( t ) = cos t , h ( t ) = sen t e F ( t ) = f ( g ( t ) , h ( t ) ) , calcule F ′ ( 0 ) .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular $ F’(0) $, onde $ F(t) = f(g(t), h(t)) $. Aqui, estamos trabalhando com a Regra da Cadeia, que faz parte do cálculo diferencial. Precisamos entender como pequenas mudanças em $ t $ afetam a função composta $ F(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas:
- $ f(x, y) = e^{xy} $
- $ g(t) = \cos t $
- $ h(t) = \sin t $
- $ F(t) = f(g(t), h(t)) = e^{g(t) \cdot h(t)} $
Passo 3
Para encontrar $ F’(t) $, aplicamos a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. A derivada de $ F(t) $ em relação a $ t $ é dada por:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $:
- Derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
- Derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Passo 5
Agora, calculamos as derivadas de $ g(t) $ e $ h(t) $ em relação a $ t $:
- Derivada de $ g(t) $:
- Derivada de $ h(t) $:
Passo 6
Substituímos todas as derivadas na expressão de $ F’(t) $:
Passo 7
Simplificamos a expressão:
Passo 8
Agora, avaliamos $ F’(t) $ no ponto $ t = 0 $:
Primeiro, calculamos $ g(0) $ e $ h(0) $:
Substituindo na expressão de $ F’(t) $: