Da regra de derivação do produto de duas funções u = u(x) e v = v(x), tem-se que (uv)’ = u’v + uv’. Integrando, tem-se u(x)v(x) = ∫ u’(x)v(x) dx + ∫ u(x)v’(x) dx, ou, ainda, ∫ uv’ dx = uv − ∫ u’v dx, que é a fórmula de integração por partes. A fórmula recebe esse nome porque permite que se reduza a integração do produto uv’ à integração do produto u’v. Por isso, é comum você se deparar com a explicação de que se está derivando u e integrando v’. A fórmula da integração por partes também pode ser expressa por ∫ u dv = uv − ∫ v du. Utilize o método de integração por partes para calcular ∫ x ex dx e assinale a alternativa que contém a resposta correta:
A.∫ x ex dx = x ex − ex + C.
B.∫ x ex dx = x ex + C.
C.∫ x ex dx = −ex + C.
D.∫ x ex dx = x^2 ex − 2xex + 2ex + C.
E.∫ x ex dx = ex − ex + C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integração por partes! A gente precisa calcular a integral de $ x e^{x} , dx $. Para isso, vamos usar a fórmula de integração por partes, que é super útil quando a integral é o produto de duas funções. A fórmula é:
x e^x , dx
Vamos seguir os passos para aplicar essa fórmula direitinho.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser $ u $ e $ dv $. Geralmente, a gente escolhe $ u $ como a parte que fica mais simples ao derivar. Aqui, vamos deixar:
u

Passo 3

Agora, vamos derivar $ u $ para achar $ du $ e integrar $ dv $ para achar $ v $.
u é
du

Passo 4

Com $ u $, $ du $, $ v $ e $ dv $ definidos, vamos aplicar a fórmula de integração por partes:
u
Substituindo os valores:
du

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral que sobraram:
integral e^x , dx = e^x + C
Então, substituindo de volta na equação:
integral x e^x , dx = x e^x - e^x + C
Podemos fatorar o $ e^{x} $ para deixar mais bonito:
e^x

Resposta

A alternativa correta é a A.
integral x e^x , dx = x e^x - e^x + C

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