A função custo marginal é definida como a taxa como a taxa de variação de C em relação a x. Sabe-se que o custo marginal (em reais) da produção de x unidades de um eletrodoméstico é dado por 60 + 3x². Se o custo da produção de uma unidade é R$ 100,00, determine a função custo para x = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que fala sobre custo marginal, que é basicamente a taxa de variação do custo total quando a gente aumenta a produção de um produto. No caso, o exercício nos dá a função do custo marginal: $ 60 + 3x^2 $. A gente também sabe que produzir uma unidade custa R$ 100,00. Nosso objetivo é descobrir qual é a função de custo total para produzir 3 unidades desse eletrodoméstico.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que é custo marginal. Ele nos diz quanto o custo total muda quando a gente produz mais uma unidade. Matematicamente, o custo marginal é a derivada da função de custo total em relação à quantidade produzida $ x $. Ou seja:
x
Dado que a função do custo marginal é $ 60 + 3x^2 $, temos:
Custo Marginal = dCdx

Passo 3

Para encontrar a função de custo total $ C(x) $, precisamos integrar a função do custo marginal. A integração nos dá a soma de todos os custos até o ponto $ x $. Então, vamos integrar:
C(x)

Passo 4

Vamos resolver a integral:
C(x) = integral 60 , dx + integral 3x^2 , dx
Integrando termo a termo:
C(x) = 60x + x^3 + K
Aqui, $ K $ é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 5

Para achar o valor de $ K K çã x = 1 $) é R$ 100,00. Substituindo na função:
x = 1
100,00 Substituindo na função:
100 = 60(1) + (1)^3 + K

Passo 6

Agora que temos o valor de $ K $, a função de custo total fica:
K

Passo 7

Por fim, vamos determinar o custo para produzir $ x = 3 $ unidades. Substituindo na função:
x = 3
C(3) = 60(3) + (3)^3 + 39
C(3) = 180 + 27 + 39

Resposta

O custo total para produzir 3 unidades é de R$ 246,00.

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