A função custo marginal é definida como a taxa como a taxa de variação de C em relação a x. Sabe-se que o custo marginal (em reais) da produção de x unidades de um eletrodoméstico é dado por 60 + 3x². Se o custo da produção de uma unidade é R$ 100,00, determine a função custo para x = 3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que fala sobre custo marginal, que é basicamente a taxa de variação do custo total quando a gente aumenta a produção de um produto. No caso, o exercício nos dá a função do custo marginal: $ 60 + 3x^2 $. A gente também sabe que produzir uma unidade custa R$ 100,00. Nosso objetivo é descobrir qual é a função de custo total para produzir 3 unidades desse eletrodoméstico.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que é custo marginal. Ele nos diz quanto o custo total muda quando a gente produz mais uma unidade. Matematicamente, o custo marginal é a derivada da função de custo total em relação à quantidade produzida $ x $. Ou seja:
Dado que a função do custo marginal é $ 60 + 3x^2 $, temos:
Passo 3
Para encontrar a função de custo total $ C(x) $, precisamos integrar a função do custo marginal. A integração nos dá a soma de todos os custos até o ponto $ x $. Então, vamos integrar:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Integrando termo a termo:
Aqui, $ K $ é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 5
Para achar o valor de $ K
x = 1 $) é R$ 100,00. Substituindo na função:
Passo 6
Agora que temos o valor de $ K $, a função de custo total fica:
Passo 7
Por fim, vamos determinar o custo para produzir $ x = 3 $ unidades. Substituindo na função:
Resposta
O custo total para produzir 3 unidades é de R$ 246,00.