a) Escreva uma fórmula para
.
b) Verificar se a fórmula que você escreveu é válida para todo
.
b) Verificar se a fórmula que você escreveu é válida para todo
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício com duas partes. Na primeira, a gente precisa escrever uma fórmula para
, que geralmente representa a soma dos primeiros
termos de uma sequência. Na segunda parte, vamos verificar se essa fórmula funciona para todo
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre sequências e séries, e usar fórmulas de somatório.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Em matemática,
geralmente representa a soma dos primeiros
termos de uma sequência. Por exemplo, se tivermos a sequência dos números naturais: 1, 2, 3, 4, …, então
seria
.
Passo 3
Para encontrar uma fórmula que calcula essa soma sem precisar somar todos os termos um por um, usamos uma fórmula conhecida. Para a soma dos primeiros
números naturais, a fórmula é:
Essa fórmula nos dá a soma diretamente a partir do valor de
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se essa fórmula funciona para todo
. Vamos testar com alguns valores de
.
Passo 5
Por exemplo, se
:
Isso faz sentido, porque a soma dos primeiros 1 termo é apenas 1.
Passo 6
Se
:
E de fato,
.
Passo 7
Vamos testar com
:
E
, que confirma que a fórmula está correta.
Resposta
A fórmula para
é:
E ela é válida para todo
.