a) Escreva uma fórmula para Sn.
b) Verificar se a fórmula que você escreveu é válida para todo n ≥ 1.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício com duas partes. Na primeira, a gente precisa escrever uma fórmula para , que geralmente representa a soma dos primeiros termos de uma sequência. Na segunda parte, vamos verificar se essa fórmula funciona para todo . Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre sequências e séries, e usar fórmulas de somatório.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Em matemática, geralmente representa a soma dos primeiros termos de uma sequência. Por exemplo, se tivermos a sequência dos números naturais: 1, 2, 3, 4, …, então seria .

Passo 3

Para encontrar uma fórmula que calcula essa soma sem precisar somar todos os termos um por um, usamos uma fórmula conhecida. Para a soma dos primeiros números naturais, a fórmula é:
Essa fórmula nos dá a soma diretamente a partir do valor de .

Passo 4

Agora, vamos verificar se essa fórmula funciona para todo . Vamos testar com alguns valores de .

Passo 5

Por exemplo, se :
Isso faz sentido, porque a soma dos primeiros 1 termo é apenas 1.

Passo 6

Se :
E de fato, .

Passo 7

Vamos testar com :
E , que confirma que a fórmula está correta.

Resposta

A fórmula para é:
E ela é válida para todo .

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