A relação lambda-i para um sistema eletromagnético é
lambda=1,2 i^1 / 2g
Para i =2 A e g=10 cm, determine a força mecânica usando (a) a energia do sistema; (b) a coernergia do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma relação entre λ e i para um sistema eletromagnético e pede para determinar a força mecânica de duas maneiras diferentes: usando a energia do sistema e usando a kohenergia do sistema. Vamos precisar de conceitos de eletromagnetismo, especialmente sobre energia e kohenergia em sistemas eletromagnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação que nos foi dada:
lambda = 1.2 raizig
Aqui, está relacionado à corrente elétrica e a uma variável . Sabemos que e . Nosso objetivo é encontrar a força mecânica usando duas abordagens diferentes.

Passo 3

Vamos começar pela energia do sistema. Em eletromagnetismo, a energia F = dUdg de um sistema eletromagnético pode ser relacionada à força mecânica pela derivada da energia em relação à posição ou deslocamento. A fórmula geral é:
Então, precisamos encontrar a expressão para a energia em termos de .

Passo 4

Para encontrar a energia lambda = 1.2 raizig implies 1.2 raizi = lambda g , vamos integrar a relação dada com respeito a U = integral lambda , di . Começamos rearranjando a equação:
A energia em um sistema pode ser relacionada a e por:
Mas como temos em termos de , precisamos expressar tudo em termos de .

Passo 5

Substituindo U = integral lambda , di = integral 1.2 raizig , di na expressão da energia:
U = 1.2g integral raizi , di
Vamos resolver essa integral. Primeiro, fatoramos integral raizi , di = 23 i^3/2 :
U = 1.2g cdot 23 i^3/2 = 0.8 i^3/2g
A integral de em relação a é:
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora que temos a expressão para a energia F = dUdg = ddg ( 0.8 i^3/2g ) = -0.8 i^3/2g^2 , vamos derivar em relação a para encontrar a força:
A força é negativa indicando que é uma força restauradora, mas vamos considerar apenas o valor absoluto para a magnitude.

Passo 7

Vamos agora substituir os valores dados: i^3/2 = (2)^3/2 = 2 cdot raiz2 approx 2.828 e F = 0.8 times 2.828(0.1)^2 = 2.26240.01 = 226.24 , N .
Primeiro, calculamos :
Agora, substituindo na expressão da força:

Passo 8

Agora, vamos calcular a força usando a kohenergia do sistema. A kohenergia W' = integral lambda , dg é outra forma de representar a energia em sistemas eletromagnéticos e é definida como:
F = dW'dg
Então, a força mecânica pode ser encontrada pela derivada da kohenergia em relação a :

Passo 9

Vamos encontrar a expressão para a kohenergia W' = integral lambda , dg = integral 1.2 raizig , dg :
W' = 1.2 raizi integral 1g , dg = 1.2 raizi ln(g) + C
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar para determinação da força.

Passo 10

Agora, derivamos F = dW'dg = 1.2 raizi cdot 1g em relação a F = 1.2 times raiz20.1 approx 1.2 times 1.4140.1 approx 1.6970.1 = 16.97 , N para encontrar a força:
Substituindo os valores dados:

Passo 11

Então, resumindo:
  • Usando a energia do sistema, a força mecânica é 226,24 N.
  • Usando a kohenergia do sistema, a força mecânica é 16,97 N.

Resposta

A força mecânica determinada usando a energia do sistema é de aproximadamente 226,24 N, e usando a kohenergia do sistema é de aproximadamente 16,97 N.

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