A relação
-i para um sistema eletromagnético é
Para i
e
, determine a força mecânica usando (a) a energia do sistema; (b) a coernergia do sistema.
Para i
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma relação entre λ e i para um sistema eletromagnético e pede para determinar a força mecânica de duas maneiras diferentes: usando a energia do sistema e usando a kohenergia do sistema. Vamos precisar de conceitos de eletromagnetismo, especialmente sobre energia e kohenergia em sistemas eletromagnéticos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação que nos foi dada:
Aqui,
está relacionado à corrente elétrica
e a uma variável
. Sabemos que
e
. Nosso objetivo é encontrar a força mecânica
usando duas abordagens diferentes.
Passo 3
Vamos começar pela energia do sistema. Em eletromagnetismo, a energia
de um sistema eletromagnético pode ser relacionada à força mecânica pela derivada da energia em relação à posição ou deslocamento. A fórmula geral é:
Então, precisamos encontrar a expressão para a energia
em termos de
.
Passo 4
Para encontrar a energia
, vamos integrar a relação dada com respeito a
. Começamos rearranjando a equação:
A energia
em um sistema pode ser relacionada a
e
por:
Mas como temos
em termos de
, precisamos expressar tudo em termos de
.
Passo 5
Substituindo
na expressão da energia:
Vamos resolver essa integral. Primeiro, fatoramos
:
A integral de
em relação a
é:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora que temos a expressão para a energia
, vamos derivar em relação a
para encontrar a força:
A força é negativa indicando que é uma força restauradora, mas vamos considerar apenas o valor absoluto para a magnitude.
Passo 7
Vamos agora substituir os valores dados:
e
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, substituindo na expressão da força:
Passo 8
Agora, vamos calcular a força usando a kohenergia do sistema. A kohenergia
é outra forma de representar a energia em sistemas eletromagnéticos e é definida como:
Então, a força mecânica pode ser encontrada pela derivada da kohenergia em relação a
:
Passo 9
Vamos encontrar a expressão para a kohenergia
:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar para determinação da força.
Passo 10
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar a força:
Substituindo os valores dados:
Passo 11
Então, resumindo:
- Usando a energia do sistema, a força mecânica é 226,24 N.
- Usando a kohenergia do sistema, a força mecânica é 16,97 N.
Resposta
A força mecânica determinada usando a energia do sistema é de aproximadamente 226,24 N, e usando a kohenergia do sistema é de aproximadamente 16,97 N.
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