A relação -i para um sistema eletromagnético é

Para i e , determine a força mecânica usando (a) a energia do sistema; (b) a coernergia do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma relação entre λ e i para um sistema eletromagnético e pede para determinar a força mecânica de duas maneiras diferentes: usando a energia do sistema e usando a kohenergia do sistema. Vamos precisar de conceitos de eletromagnetismo, especialmente sobre energia e kohenergia em sistemas eletromagnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação que nos foi dada:
Aqui, está relacionado à corrente elétrica e a uma variável . Sabemos que e . Nosso objetivo é encontrar a força mecânica usando duas abordagens diferentes.

Passo 3

Vamos começar pela energia do sistema. Em eletromagnetismo, a energia de um sistema eletromagnético pode ser relacionada à força mecânica pela derivada da energia em relação à posição ou deslocamento. A fórmula geral é:
Então, precisamos encontrar a expressão para a energia em termos de .

Passo 4

Para encontrar a energia , vamos integrar a relação dada com respeito a . Começamos rearranjando a equação:
A energia em um sistema pode ser relacionada a e por:
Mas como temos em termos de , precisamos expressar tudo em termos de .

Passo 5

Substituindo na expressão da energia:
Vamos resolver essa integral. Primeiro, fatoramos :
A integral de em relação a é:
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora que temos a expressão para a energia , vamos derivar em relação a para encontrar a força:
A força é negativa indicando que é uma força restauradora, mas vamos considerar apenas o valor absoluto para a magnitude.

Passo 7

Vamos agora substituir os valores dados: e .
Primeiro, calculamos :
Agora, substituindo na expressão da força:

Passo 8

Agora, vamos calcular a força usando a kohenergia do sistema. A kohenergia é outra forma de representar a energia em sistemas eletromagnéticos e é definida como:
Então, a força mecânica pode ser encontrada pela derivada da kohenergia em relação a :

Passo 9

Vamos encontrar a expressão para a kohenergia :
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar para determinação da força.

Passo 10

Agora, derivamos em relação a para encontrar a força:
Substituindo os valores dados:

Passo 11

Então, resumindo:
  • Usando a energia do sistema, a força mecânica é 226,24 N.
  • Usando a kohenergia do sistema, a força mecânica é 16,97 N.

Resposta

A força mecânica determinada usando a energia do sistema é de aproximadamente 226,24 N, e usando a kohenergia do sistema é de aproximadamente 16,97 N.

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