Com relação a transformação linear T: P2 P1 dada por T(c+b x+a x^2)=b+c+a x, para todo p(x)=c+b x+a x^2 Responda: Determine T(p(x)) onde p(x)=2 x^2+x+2021.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear que pega polinômios de segundo grau ( ) e transforma em polinômios de primeiro grau ( ). O enunciado quer saber qual é o resultado de quando . Para resolver isso, vamos precisar entender como a transformação funciona e aplicar ela ao polinômio dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É tipo uma função que liga dois espaços vetoriais, respeitando duas regras básicas: preserva a soma de vetores e a multiplicação por escalar. No nosso caso, está ligando polinômios de grau até 2 aos de grau até 1.

Passo 3

A transformação T(c + b x + a x^2) = b + c + a x está definida da seguinte maneira:
Isso significa que, para qualquer polinômio , vai pegar os coeficientes , e e organizá-los na forma .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a = 2, b = 1, c = 2021 ao polinômio T(p(x)) = b + c + a x = 1 + 2021 + 2x = 2022 + 2x . Identificando os coeficientes:
T(p(x)) = 2x + 2022
Substituindo esses valores na definição de :
Podemos também escrever isso como:

Resposta

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Ex. 2. Simplifique:
(a) 3(x+2)-5 ;
Demonstrar que sendo u, v e w vetores dois a dois ortogonais, então |u+v|^2=|u|^2+|v|^2.
Ex. 2. Simplifique:
(e) 5(2 x-5)-3(2 x+7);
Seja T: P2 P2 a transformação linear dada por T(p(x))=x cdot p^prime(x)+p^prime prime(x) (derivadas): Encontre a matriz [T]beta^beta que representa T na base beta=1, x, x^2.