Demonstrar que sendo
e
vetores dois a dois ortogonais, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se os vetores
,
e
forem dois a dois ortogonais (ou seja, perpendiculares entre si), então a soma dos quadrados dos comprimentos de
e
é igual ao quadrado do comprimento de
. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é zero. Ou seja,
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o quadrado do comprimento do vetor
. A fórmula para o comprimento de um vetor
é
, e para o quadrado do comprimento usamos
.
Então,
Passo 4
Vamos expandir esse produto escalar usando a propriedade distributiva:
Passo 5
Sabemos que o produto escalar é comutativo, ou seja,
. Além disso, como
e
são ortogonais,
.
Então, a expressão fica:
Passo 6
Lembrando que
e
, podemos escrever:
Resposta
Assim, mostramos que se
e
são vetores ortogonais, então
.