Demonstrar que sendo u, v e w vetores dois a dois ortogonais, então |u+v|^2=|u|^2+|v|^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se os vetores u, v e w forem dois a dois ortogonais (ou seja, perpendiculares entre si), então a soma dos quadrados dos comprimentos de u e v é igual ao quadrado do comprimento de u + v. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é zero. Ou seja, u cdot v = 0, u cdot w = 0 e v cdot w = 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular o quadrado do comprimento do vetor u + v. A fórmula para o comprimento de um vetor a é |a|, e para o quadrado do comprimento usamos |a|^2 = a cdot a.
Então,
|u + v|^2 = (u + v) cdot (u + v)

Passo 4

Vamos expandir esse produto escalar usando a propriedade distributiva:
(u + v) cdot (u + v) = u cdot u + u cdot v + v cdot u + v cdot v

Passo 5

Sabemos que o produto escalar é comutativo, ou seja, u cdot v = v cdot u. Além disso, como u e v são ortogonais, u cdot v = 0.
Então, a expressão fica:
u cdot u + 0 + 0 + v cdot v = u cdot u + v cdot v

Passo 6

Lembrando que u cdot u = |u|^2 e v cdot v = |v|^2, podemos escrever:
|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2

Resposta

Assim, mostramos que se u e v são vetores ortogonais, então |u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2.

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