Seja T: P2 P2 a transformação linear dada por T(p(x))=x cdot p^prime(x)+p^prime prime(x) (derivadas): Encontre a matriz [T]beta^beta que representa T na base beta=1, x, x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma transformação linear T(p(x)) = x cdot p'(x) + p''(x) que atua no conjunto de polinômios de grau até 2, denotado por . A transformação é dada por:
Nosso objetivo é encontrar a matriz dessa transformação na base . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e como representar transformações lineares em matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de uma transformação linear em uma base específica, a gente aplica a transformação em cada vetor da base e expressa o resultado como uma combinação linear dos vetores da base.
Aqui, nossa base é . Vamos aplicar em cada um desses polinômios.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro vetor da base: p'(x) = 0 e p''(x) = 0 .
Primeiro, calculamos as derivadas:
T(1) = x cdot 0 + 0 = 0
Aplicando a transformação 0 cdot 1 + 0 cdot x + 0 cdot x^2 :
0 0 0
Então, . Na base , isso corresponde a:
Portanto, o primeiro coluna da matriz será .

Passo 4

Agora, vamos para o segundo vetor da base: p'(x) = 1 e p''(x) = 0 .
Calculamos as derivadas:
T(x) = x cdot 1 + 0 = x
Aplicando 0 cdot 1 + 1 cdot x + 0 cdot x^2 :
0 1 0
Então, . Na base , isso é:
Logo, a segunda coluna da matriz será .

Passo 5

Por fim, vamos para o terceiro vetor da base: p'(x) = 2x e p''(x) = 2 .
Calculamos as derivadas:
T(x^2) = x cdot 2x + 2 = 2x^2 + 2
Aplicando 2 cdot 1 + 0 cdot x + 2 cdot x^2 :
2 0 2
Agora, expressamos na base :
Portanto, a terceira coluna da matriz será .

Resposta

A matriz [T]beta^beta = 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 que representa a transformação na base é:

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Ex. 2. Simplifique:
(e) 5(2 x-5)-3(2 x+7);
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