Represente graficamente as funções: a) f(x) = x² – 4x + 4 b) y = 1 – x² c) f(x) = x² + 2x d) y = – x² + 4x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar graficamente quatro funções quadráticas diferentes. Isso significa desenhar o gráfico de cada uma delas no plano cartesiano. Para isso, vamos precisar entender como as funções quadráticas se comportam, como encontrar o vértice, as interceptações com os eixos e determinar a direção que a parábola abre (pra cima ou pra baixo).

Passo 2

Vamos começar com a primeira função: f(x) = x² – 4x + 4. Essa é uma função quadrática da forma f(x) = ax² + bx + c. Aqui, a = 1, b = -4 e c = 4.

Passo 3

Para desenhar o gráfico, primeiro encontramos o vértice da parábola. A fórmula para achar o vértice é (- b2a, f(-b2a)). Então, calculando:
xv = --42 times 1 = 2
f(2) = (2)^2 - 4(2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0
Então, o vértice é (2, 0).

Passo 4

Agora, vamos ver se a parábola abre pra cima ou pra baixo. Isso depende do sinal de a. Se a > 0, abre pra cima; se a < 0, abre pra baixo. No nosso caso, a = 1, então a parábola abre pra cima.

Passo 5

Vamos encontrar as interceptações com os eixos. Primeiro, com o eixo y, basta avaliar f(0):
f(0) = 0² - 4(0) + 4 = 4 ²
Então, a interceptação com o eixo y é (0, 4).
Para a interceptação com o eixo x, resolvemos f(x) = 0:
x² - 4x + 4 = 0 ²
Essa equação pode ser fatorada:
(x - 2)^2 = 0
Então, x = 2. A interceptação com o eixo x é (2, 0), que é o próprio vértice.

Passo 6

Com essas informações, conseguimos desenhar o gráfico da primeira função: uma parábola que abre pra cima, com vértice em (2, 0) e interceptações em (0, 4) e (2, 0).

Passo 7

Vamos para a segunda função: y = 1 – x². Também é uma função quadrática na forma y = ax² + bx + c, onde a = -1, b = 0 e c = 1.

Passo 8

Encontramos o vértice usando a mesma fórmula:
xv = -02 times -1 = 0
yv = 1 - (0)^2 = 1
Então, o vértice é (0, 1).

Passo 9

Como a = -1, a parábola abre pra baixo.

Passo 10

Interceptação com o eixo y:
y = 1 - (0)^2 = 1
Então, (0, 1).
Para o eixo x, resolvendo 1 - x² = 0:
x² = 1 implies x = pm1 ²
Então, as interceptações com o eixo x são (1, 0) e (-1, 0).

Passo 11

Com isso, o gráfico da segunda função é uma parábola que abre pra baixo, com vértice em (0, 1) e interceptações em (1, 0) e (-1, 0).

Passo 12

Agora, a terceira função: f(x) = x² + 2x. Aqui, a = 1, b = 2 e c = 0.

Passo 13

Vértice:
xv = -22 times 1 = -1
f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1
Vértice em (-1, -1).

Passo 14

Como a = 1, a parábola abre pra cima.

Passo 15

Interceptação com o eixo y:
f(0) = 0^2 + 2(0) = 0
Então, (0, 0).
Interceptações com o eixo x, resolvendo x² + 2x = 0:
x(x + 2) = 0 implies x = 0 ou x = -2
Então, interceptações em (0, 0) e (-2, 0).

Passo 16

O gráfico dessa função é uma parábola que abre pra cima, com vértice em (-1, -1) e interceptações em (0, 0) e (-2, 0).

Passo 17

Por último, a quarta função: y = –x² + 4x. Aqui, a = -1, b = 4 e c = 0.

Passo 18

Vértice:
xv = -42 times -1 = 2
yv = - (2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4
Vértice em (2, 4).

Passo 19

Como a = -1, a parábola abre pra baixo.

Passo 20

Interceptação com o eixo y:
y = -0^2 + 4(0) = 0
Então, (0, 0).
Interceptações com o eixo x, resolvendo -x² + 4x = 0:
-x(x - 4) = 0 implies x = 0 ou x = 4
Então, interceptações em (0, 0) e (4, 0).

Resposta

Prontinho! Agora você tem os gráficos das quatro funções:
a) f(x) = x² – 4x + 4: parábola que abre pra cima, vértice em (2, 0), interceptações em (0, 4) e (2, 0).
b) y = 1 – x²: parábola que abre pra baixo, vértice em (0, 1), interceptações em (1, 0) e (-1, 0).
c) f(x) = x² + 2x: parábola que abre pra cima, vértice em (-1, -1), interceptações em (0, 0) e (-2, 0).
d) y = –x² + 4x: parábola que abre pra baixo, vértice em (2, 4), interceptações em (0, 0) e (4, 0).

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