Represente graficamente as funções: a) f(x) = x² – 4x + 4 b) y = 1 – x² c) f(x) = x² + 2x d) y = – x² + 4x
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar graficamente quatro funções quadráticas diferentes. Isso significa desenhar o gráfico de cada uma delas no plano cartesiano. Para isso, vamos precisar entender como as funções quadráticas se comportam, como encontrar o vértice, as interceptações com os eixos e determinar a direção que a parábola abre (pra cima ou pra baixo).
Passo 2
Vamos começar com a primeira função: f(x) = x² – 4x + 4. Essa é uma função quadrática da forma f(x) = ax² + bx + c. Aqui, a = 1, b = -4 e c = 4.
Passo 3
Para desenhar o gráfico, primeiro encontramos o vértice da parábola. A fórmula para achar o vértice é
. Então, calculando:
Então, o vértice é (2, 0).
Passo 4
Agora, vamos ver se a parábola abre pra cima ou pra baixo. Isso depende do sinal de a. Se a > 0, abre pra cima; se a < 0, abre pra baixo. No nosso caso, a = 1, então a parábola abre pra cima.
Passo 5
Vamos encontrar as interceptações com os eixos. Primeiro, com o eixo y, basta avaliar f(0):
Então, a interceptação com o eixo y é (0, 4).
Para a interceptação com o eixo x, resolvemos f(x) = 0:
Essa equação pode ser fatorada:
Então, x = 2. A interceptação com o eixo x é (2, 0), que é o próprio vértice.
Passo 6
Com essas informações, conseguimos desenhar o gráfico da primeira função: uma parábola que abre pra cima, com vértice em (2, 0) e interceptações em (0, 4) e (2, 0).
Passo 7
Vamos para a segunda função: y = 1 – x². Também é uma função quadrática na forma y = ax² + bx + c, onde a = -1, b = 0 e c = 1.
Passo 8
Encontramos o vértice usando a mesma fórmula:
Então, o vértice é (0, 1).
Passo 9
Como a = -1, a parábola abre pra baixo.
Passo 10
Interceptação com o eixo y:
Então, (0, 1).
Para o eixo x, resolvendo 1 - x² = 0:
Então, as interceptações com o eixo x são (1, 0) e (-1, 0).
Passo 11
Com isso, o gráfico da segunda função é uma parábola que abre pra baixo, com vértice em (0, 1) e interceptações em (1, 0) e (-1, 0).
Passo 12
Agora, a terceira função: f(x) = x² + 2x. Aqui, a = 1, b = 2 e c = 0.
Passo 13
Vértice:
Vértice em (-1, -1).
Passo 14
Como a = 1, a parábola abre pra cima.
Passo 15
Interceptação com o eixo y:
Então, (0, 0).
Interceptações com o eixo x, resolvendo x² + 2x = 0:
Então, interceptações em (0, 0) e (-2, 0).
Passo 16
O gráfico dessa função é uma parábola que abre pra cima, com vértice em (-1, -1) e interceptações em (0, 0) e (-2, 0).
Passo 17
Por último, a quarta função: y = –x² + 4x. Aqui, a = -1, b = 4 e c = 0.
Passo 18
Vértice:
Vértice em (2, 4).
Passo 19
Como a = -1, a parábola abre pra baixo.
Passo 20
Interceptação com o eixo y:
Então, (0, 0).
Interceptações com o eixo x, resolvendo -x² + 4x = 0:
Então, interceptações em (0, 0) e (4, 0).
Resposta
Prontinho! Agora você tem os gráficos das quatro funções:
a) f(x) = x² – 4x + 4: parábola que abre pra cima, vértice em (2, 0), interceptações em (0, 4) e (2, 0).
b) y = 1 – x²: parábola que abre pra baixo, vértice em (0, 1), interceptações em (1, 0) e (-1, 0).
c) f(x) = x² + 2x: parábola que abre pra cima, vértice em (-1, -1), interceptações em (0, 0) e (-2, 0).
d) y = –x² + 4x: parábola que abre pra baixo, vértice em (2, 4), interceptações em (0, 0) e (4, 0).