Um reservatório é utilizado para coletar toda a água da chuva que cai sobre uma área
. O reservatório possui um pequeno orifício com área de seção transversal
localizado a uma distância
abaixo do nível da água. (a) Admitindo uma pluviosidade de
ano distribuída de forma uniforme ao longo do ano, estime o valor máximo possível para a área
que manterá o nível da água constante no reservatório. (b) Determine a quantidade de água que este reservatório pode liberar em litros/dia. © Quantas pessoas podem ser supridas por este reservatório?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um reservatório que coleta água da chuva sobre uma área de
. Esse reservatório tem um orifício com área de seção transversal
localizado a uma distância
abaixo do nível da água. O problema está relacionado à Hidráulica dos Fluídos, especificamente ao equilíbrio entre a entrada e a saída de água no reservatório. Precisamos:
a) Estimar o valor máximo de
que mantém o nível da água constante.
b) Determinar a quantidade de água que o reservatório pode liberar em litros por dia.
c) Calcular quantas pessoas podem ser supridas por esse reservatório.
Passo 2
Vamos resolver a parte (a). Queremos encontrar o valor máximo da área
do orifício que mantém o nível da água constante, ou seja, a quantidade de água que entra é igual à que sai.
Entrada de água:
A pluviosidade é de
distribuída uniformemente. Isso significa que, por ano, cada metro quadrado recebe 1,6 metros cúbicos de água. Como a área coletora é
, a quantidade total de água que entra no reservatório por ano é:
Saída de água:
A água sai pelo orifício através de um fluxo contínuo. Podemos usar a equação de Torricelli para o fluxo de saída:
onde
é a taxa de fluxo,
é a área do orifício e
é a velocidade da água saindo.
A velocidade
é dada por:
onde
é a aceleração da gravidade e
.
Substituindo:
A taxa de fluxo
então é:
Equilíbrio entre entrada e saída:
Para que o nível da água seja constante, a entrada anual de água deve ser igual à saída anual:
Sabemos que
. Para encontrar
, precisamos converter a taxa de fluxo para volume anual:
O tempo em segundos por ano é:
Portanto:
Igualando as entradas:
Resolvendo para
:
Resposta
O valor máximo possível para a área
do orifício que mantém o nível da água constante no reservatório é aproximadamente
.