A resolução de um microscópio depende do comprimento de onda usado. Se nós quiséssemos (a) Neste caso, usando um microscópio eletrônico, qual seria a energia cinética mínima dos elétrons?
(b) Se fótons são usados ao invés dos elétrons, qual seria a energia mínima requerida pelos fótons para obter a mesma resolução?
(Solução: (a) Cálculo relativístico:
. Cálculo não relativístico:
. (b) Para fótons:
)
(b) Se fótons são usados ao invés dos elétrons, qual seria a energia mínima requerida pelos fótons para obter a mesma resolução?
(Solução: (a) Cálculo relativístico:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a resolução de um microscópio depende do comprimento de onda que a gente usa. A gente vai trabalhar com dois tipos de microscópios: eletrônico e óptico (com fótons). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia cinética dos elétrons e energia dos fótons, além de usar a relação de de Broglie que conecta comprimento de onda com momento.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a) que pede a energia cinética mínima dos elétrons num microscópio eletrônico. A gente sabe que o comprimento de onda (
) de de Broglie está relacionada com o momento (
) do elétron pela fórmula:
Onde
é a constante de Planck.
Passo 3
Sabendo que a resolução do microscópio depende do comprimento de onda, para alcançar a melhor resolução, a gente quer o menor comprimento de onda possível. Isso significa que precisamos calcular a energia cinética mínima dos elétrons que proporciona esse menor
. A energia cinética (
) dos elétrons pode ser calculada usando fórmulas relativísticas ou não relativísticas.
Passo 4
Usando a fórmula não relativística para energia cinética:
E sabemos que
, então substituindo:
Calculando isso, obtemos
.
Passo 5
Agora, usando a fórmula relativística para energia cinética, que é mais precisa quando a energia dos elétrons é alta:
Após os cálculos, encontramos
.
Passo 6
Para a parte (b), queremos saber qual a energia mínima dos fótons necessária para obter a mesma resolução. Usamos a relação entre energia (
) e comprimento de onda para fótons:
Substituindo os valores, calculamos que
.
Resposta
(a) A energia cinética mínima dos elétrons é aproximadamente
(relativístico) ou
(não relativístico).
(b) A energia mínima requerida pelos fótons para a mesma resolução é .
(b) A energia mínima requerida pelos fótons para a mesma resolução é