A resolução de um microscópio depende do comprimento de onda usado. Se nós quiséssemos (a) Neste caso, usando um microscópio eletrônico, qual seria a energia cinética mínima dos elétrons?
(b) Se fótons são usados ao invés dos elétrons, qual seria a energia mínima requerida pelos fótons para obter a mesma resolução?
(Solução: (a) Cálculo relativístico: K=14,8 keV. Cálculo não relativístico: K=15,1 keV. (b) Para fótons: Egamma=124 keV )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a resolução de um microscópio depende do comprimento de onda que a gente usa. A gente vai trabalhar com dois tipos de microscópios: eletrônico e óptico (com fótons). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia cinética dos elétrons e energia dos fótons, além de usar a relação de de Broglie que conecta comprimento de onda com momento.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a) que pede a energia cinética mínima dos elétrons num microscópio eletrônico. A gente sabe que o comprimento de onda ( lambda) de de Broglie está relacionada com o momento ( p) do elétron pela fórmula:
lambda = hp
Onde h é a constante de Planck.

Passo 3

Sabendo que a resolução do microscópio depende do comprimento de onda, para alcançar a melhor resolução, a gente quer o menor comprimento de onda possível. Isso significa que precisamos calcular a energia cinética mínima dos elétrons que proporciona esse menor lambda. A energia cinética ( K) dos elétrons pode ser calculada usando fórmulas relativísticas ou não relativísticas.

Passo 4

Usando a fórmula não relativística para energia cinética:
K = p^22m
E sabemos que p = hlambda, então substituindo:
K = h^22mlambda^2
Calculando isso, obtemos K approx 15,1 keV.

Passo 5

Agora, usando a fórmula relativística para energia cinética, que é mais precisa quando a energia dos elétrons é alta:
K = raiz(pc)^2 + (m c^2)^2 - m c^2
Após os cálculos, encontramos K approx 14,8 keV.

Passo 6

Para a parte (b), queremos saber qual a energia mínima dos fótons necessária para obter a mesma resolução. Usamos a relação entre energia ( E) e comprimento de onda para fótons:
E = h clambda
Substituindo os valores, calculamos que Egamma approx 124 keV.

Resposta

(a) A energia cinética mínima dos elétrons é aproximadamente 14,8 keV (relativístico) ou 15,1 keV (não relativístico).
(b) A energia mínima requerida pelos fótons para a mesma resolução é 124 keV.

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