Resolva as asguintes integrais
(e) (1.0) integral x^2+1(x-3)(x-2)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente integração usando frações parciais. Para resolver isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que sejam mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração x^2+1(x-3)(x-2)^2 = Ax-3 + Bx-2 + C(x-2)^2 como soma de frações parciais. Como o denominador tem fatores lineares e repetidos, assumiremos a forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x^2 + 1 = A(x-2)^2 + B(x-3)(x-2) + C(x-3) para eliminar as frações:

Passo 4

Expandimos os termos do lado direito:
x^2 + 1 = A(x^2 - 4x + 4) + B(x^2 - 5x + 6) + Cx - 3C
Simplificando:
x^2 + 1 = (A + B)x^2 + (-4A - 5B + C)x + (4A + 6B - 3C)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
A + B = 1 &(1) -4A - 5B + C = 0 &(2) 4A + 6B - 3C = 1 &(3)

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações:
Da equação (1): -4(1 - B) - 5B + C = 0 -4 + 4B - 5B + C = 0 -4 - B + C = 0 C = B + 4
Substituímos 4(1 - B) + 6B - 3(B + 4) = 1 4 - 4B + 6B - 3B - 12 = 1 (-4B + 6B - 3B) + (4 - 12) = 1 (-B) - 8 = 1 -B = 9 B = -9 na equação (2):
Substituímos e na equação (3):
Agora, encontramos e .

Passo 7

Com os valores de x^2+1(x-3)(x-2)^2 = 10x-3 + -9x-2 + -5(x-2)^2 , e encontrados, nossa decomposição fica:

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 10x-3 , dx = 10 ln|x-3|
integral -9x-2 , dx = -9 ln|x-2|
integral -5(x-2)^2 , dx = 5x-2

Resposta

A solução da integral é:
10 ln|x-3| - 9 ln|x-2| + 5x-2 + C

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