Resolva as EDPs a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Parcial (EDP) que você trouxe:

Essa é a famosa equação do calor, que modela como a temperatura varia no espaço e no tempo. Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para encontrar soluções de EDPs onde a função pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como:

Aqui, é uma função que depende apenas de e depende apenas de . Nosso objetivo é encontrar essas funções.

Passo 3

Substituímos na equação do calor:

Como não depende de e não depende de , as derivadas ficam:

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis dividindo os dois lados da equação por :

Note que o lado esquerdo depende apenas de e o lado direito depende apenas de . Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os e , ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que vamos chamar de . Então temos duas equações:

Passo 5

Vamos resolver a primeira equação para :

Essa é uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem com soluções harmônicas. As soluções gerais são:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.

Passo 6

Agora, resolvemos a segunda equação para :

Essa é uma EDO de primeira ordem cuja solução é:
onde é uma constante.

Passo 7

Juntando as soluções de e , a solução geral da equação do calor é:

Essa é a forma geral da solução utilizando separação de variáveis. As constantes , e serão determinadas com base nas condições iniciais e de contorno específicas do problema.

Resposta

A solução geral da equação do calor é:

onde e são constantes determinadas pelas condições do problema, e é uma constante associada às soluções harmônicas.

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