Resolva as EDPs a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Parcial (EDP) que você trouxe:
Essa é a famosa equação do calor, que modela como a temperatura
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como:
Aqui,
Passo 3
Substituímos
na equação do calor:
Como
Passo 4
Agora, vamos separar as variáveis dividindo os dois lados da equação por
:
Note que o lado esquerdo depende apenas de
Passo 5
Vamos resolver a primeira equação para
:
Essa é uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem com soluções harmônicas. As soluções gerais são:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.
Passo 6
Agora, resolvemos a segunda equação para
:
Essa é uma EDO de primeira ordem cuja solução é:
onde
é uma constante.
Passo 7
Juntando as soluções de
e
, a solução geral da equação do calor é:
Essa é a forma geral da solução utilizando separação de variáveis. As constantes
Resposta
A solução geral da equação do calor
é:
onde
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Indique as propriedades que estão sendo usadas nas operações a seguir:
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Reescreva as expressões usando as propriedades indicadas: Comutativa:
Reescreva as expressões usando as propriedades indicadas: Associativa: