Resolva as EDPs a seguir:
k partial^2 upartial x^2=partial upartial t, k>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Parcial (EDP) que você trouxe:
k partial^2 upartial x^2 = partial upartial t, k > 0
Essa é a famosa equação do calor, que modela como a temperatura varia no espaço e no tempo. Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para encontrar soluções de EDPs onde a função pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução u(x, t) = X(x) cdot T(t) pode ser escrita como:

Aqui, é uma função que depende apenas de e depende apenas de . Nosso objetivo é encontrar essas funções.

Passo 3

Substituímos k partial^2 (X cdot T)partial x^2 = partial (X cdot T)partial t na equação do calor:
k T(t) d^2 Xdx^2 = X(x) d Tdt
Como não depende de e não depende de , as derivadas ficam:

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis dividindo os dois lados da equação por k 1X d^2 Xdx^2 = 1T d Tdt:
k 1X d^2 Xdx^2 = -lambda
Note que o lado esquerdo depende apenas de 1T d Tdt = -lambda e o lado direito depende apenas de . Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os e , ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que vamos chamar de . Então temos duas equações:

Passo 5

Vamos resolver a primeira equação para d^2 Xdx^2 + lambdak X = 0:
X(x) = A cos(raizlambdak, x) + B sin(raizlambdak, x)
Essa é uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem com soluções harmônicas. As soluções gerais são:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.

Passo 6

Agora, resolvemos a segunda equação para d Tdt = -lambda T:
T(t) = C e^-lambda t
Essa é uma EDO de primeira ordem cuja solução é:
onde é uma constante.

Passo 7

Juntando as soluções de u(x, t) = (A cos(raizlambdak, x) + B sin(raizlambdak, x)) e^-lambda t e , a solução geral da equação do calor é:

Essa é a forma geral da solução utilizando separação de variáveis. As constantes , e serão determinadas com base nas condições iniciais e de contorno específicas do problema.

Resposta

A solução geral da equação do calor u(x, t) = (A cos(raizlambdak, x) + B sin(raizlambdak, x)) e^-lambda t é:

onde e são constantes determinadas pelas condições do problema, e é uma constante associada às soluções harmônicas.

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