Resolva a equação diferencial dada com coeficientes variáveis.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Este é um exercício de equações diferenciais com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos precisar entender métodos para equações de ordem superior e como lidar com coeficientes que variam com a variável independente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por
para facilitar a manipulação:
Isso nos ajuda a identificar melhor os coeficientes das derivadas.
Passo 3
Observamos que a equação é linear e de terceira ordem. Para resolver, tentaremos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 4
Calculando as derivadas de
:
Passo 5
Substituindo
,
, e
na equação original:
Passo 6
Simplificando cada termo:
Agora, podemos fatorar
:
Passo 7
Como
, a expressão dentro dos colchetes deve ser igual a zero:
Expandindo:
Passo 8
Resolvendo a equação cúbica
:
Tentando
:
Portanto,
é uma raiz. Fazendo a divisão polinomial, o polinômio se fatoriza como
, tendo multiplicidade 3.
Passo 9
Assim, a solução geral é:
onde
,
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: