Resolva a equação diferencial dada com coeficientes variáveis.
a) x^3 y''' + x y' - y = 0
b) x^3 y''' - 2 x^2 y'' + 4 x y' - 4 y = 0
c) x^3 y''' - 2 x^2 y'' - 2 x y' + 8 y = 0
d) x y^(i v) + 6 y''' = 0
e) x^2 y'' - 7 x y' + 41 y = 0
f) 4 x^2 y'' + 4 x y' - y = 0
g) { x^2 y'' - 3 x y' + 4 y = 0, y(1) = 5, y'(1) = 3 }
h) { 4 x^2 y'' + y = 0, y(-1) = 2, y'(-1) = 4 }
i) x^2 y'' - 4 x y' + 6 y = 0; y(-2) = 8, y'(-2) = 0
j) { x^2 y'' - 5 x y' + 8 y = 0, y(2) = 32, y'(2) = 0 }

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Este é um exercício de equações diferenciais com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos precisar entender métodos para equações de ordem superior e como lidar com coeficientes que variam com a variável independente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por para facilitar a manipulação:
Isso nos ajuda a identificar melhor os coeficientes das derivadas.

Passo 3

Observamos que a equação é linear e de terceira ordem. Para resolver, tentaremos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 4

Calculando as derivadas de :

Passo 5

Substituindo , , e na equação original:

Passo 6

Simplificando cada termo:
Agora, podemos fatorar :

Passo 7

Como , a expressão dentro dos colchetes deve ser igual a zero:
Expandindo:

Passo 8

Resolvendo a equação cúbica :
Tentando :
Portanto, é uma raiz. Fazendo a divisão polinomial, o polinômio se fatoriza como , tendo multiplicidade 3.

Passo 9

Assim, a solução geral é:
onde , e são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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