Resolva a equação diferencial dada com coeficientes variáveis.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Este é um exercício de equações diferenciais com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos precisar entender métodos para equações de ordem superior e como lidar com coeficientes que variam com a variável independente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por para facilitar a manipulação:
Isso nos ajuda a identificar melhor os coeficientes das derivadas.

Passo 3

Observamos que a equação é linear e de terceira ordem. Para resolver, tentaremos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 4

Calculando as derivadas de :

Passo 5

Substituindo , , e na equação original:

Passo 6

Simplificando cada termo:
Agora, podemos fatorar :

Passo 7

Como , a expressão dentro dos colchetes deve ser igual a zero:
Expandindo:

Passo 8

Resolvendo a equação cúbica :
Tentando :
Portanto, é uma raiz. Fazendo a divisão polinomial, o polinômio se fatoriza como , tendo multiplicidade 3.

Passo 9

Assim, a solução geral é:
onde , e são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva cada equaão diferencial pelo método da variação de parâmetros.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
a)
b)
c)
d)
Apresente um motivo pelo qual o vetor gradiente é importante.
Determine uma equação do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado.