Resolva a equação diferencial dada com coeficientes variáveis.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Este é um exercício de equações diferenciais com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos precisar entender métodos para equações de ordem superior e como lidar com coeficientes que variam com a variável independente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por
para facilitar a manipulação:
Isso nos ajuda a identificar melhor os coeficientes das derivadas.
Passo 3
Observamos que a equação é linear e de terceira ordem. Para resolver, tentaremos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 4
Calculando as derivadas de
:
Passo 5
Substituindo
,
, e
na equação original:
Passo 6
Simplificando cada termo:
Agora, podemos fatorar
:
Passo 7
Como
, a expressão dentro dos colchetes deve ser igual a zero:
Expandindo:
Passo 8
Resolvendo a equação cúbica
:
Tentando
:
Portanto,
é uma raiz. Fazendo a divisão polinomial, o polinômio se fatoriza como
, tendo multiplicidade 3.
Passo 9
Assim, a solução geral é:
onde
,
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva cada equaão diferencial pelo método da variação de parâmetros.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Apresente um motivo pelo qual o vetor gradiente é importante.
Determine uma equação do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado.