Determine uma equação do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à superfície dada pela equação no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a superfície se comporta em torno desse ponto.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas nos darão as inclinações da superfície nas direções de e .
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :
Passo 5
O vetor normal ao plano tangente é formado pelas derivadas parciais avaliadas no ponto, ou seja, . Então:
Passo 6
A equação do plano tangente pode ser escrita usando a forma do ponto e o vetor normal:
Simplificando:
Passo 7
Para achar a reta normal, usamos o ponto dado e o vetor normal. A paramétrica da reta é: