Determine uma equação do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado.
z = 4*x^2 - y^2 + 2*y -1, 2, 4

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à superfície dada pela equação no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a superfície se comporta em torno desse ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas nos darão as inclinações da superfície nas direções de e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :

Passo 5

O vetor normal ao plano tangente é formado pelas derivadas parciais avaliadas no ponto, ou seja, . Então:

Passo 6

A equação do plano tangente pode ser escrita usando a forma do ponto e o vetor normal:
Simplificando:

Passo 7

Para achar a reta normal, usamos o ponto dado e o vetor normal. A paramétrica da reta é:
Onde é o parâmetro.

Resposta

A equação do plano tangente é:
E a equação paramétrica da reta normal é:

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