Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
a)
b)
c)
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e .
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com termos forçados. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea ( ) e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: .
A equação característica dessa equação é , que tem raízes complexas . Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa .
Como o lado direito da equação é a soma de e , vamos buscar soluções particulares para cada termo separadamente e depois somá-las.
Para , notamos que já está na forma da solução homogênea, então precisamos multiplicar por para evitar redundância. Assim, supomos:
Para , não é solução da homogênea, então podemos assumir:

Passo 4

Vamos substituir na equação para encontrar e .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando, os termos com se cancelam, restando:
Igualando os coeficientes:
Portanto, .

Passo 5

Agora, substituímos na equação para encontrar e .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Portanto, .

Passo 6

A solução particular completa é a soma de e :

Passo 7

Agora, a solução geral da equação diferencial é:

Passo 8

Aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, :
Simplificando:
Segundo, :
Primeiro, encontramos :
Substituindo :
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
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a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
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a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)