Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
a) ly^prime prime+y=cos x-sen 2 x y(pi2)=y^prime(pi2)=0
b) ly^prime prime+4 y^prime+4 y=(3+x) e^-2 x y(0)=2, y^prime(0)=5
c) ly^prime prime prime-2 y^prime prime+y^prime=2-24 e^x+40 e^5 x y(0)=12, y^prime(0)=52, y^prime prime(0)=-92
d) ly^prime prime-2 y^prime-3 y=1+cos 2 x y(0)=-13, y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e .
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com termos forçados. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea ( ) e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: yh(x) = C1 cos x + C2 sen x .
A equação característica dessa equação é , que tem raízes complexas . Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp1(x) = x(A cos x + B sen x) para a equação completa .
Como o lado direito da equação é a soma de yp2(x) = C cos 2x + D sen 2x e , vamos buscar soluções particulares para cada termo separadamente e depois somá-las.
Para , notamos que já está na forma da solução homogênea, então precisamos multiplicar por para evitar redundância. Assim, supomos:
Para , não é solução da homogênea, então podemos assumir:

Passo 4

Vamos substituir yp1' = A cos x + B sen x + x(-A sen x + B cos x) na equação para encontrar yp1'' = -2A sen x + 2B cos x + x(-A cos x - B sen x) e (-2A sen x + 2B cos x + x(-A cos x - B sen x)) + x(A cos x + B sen x) = cos x .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando, os termos com -2A sen x + 2B cos x = cos x se cancelam, restando:
Igualando os coeficientes:
-2A = 0 implies A = 0
2B = 1 implies B = 12
Portanto, .

Passo 5

Agora, substituímos na equação para encontrar yp2' = -2C sen 2x + 2D cos 2x e yp2'' = -4C cos 2x - 4D sen 2x .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
(-4C cos 2x - 4D sen 2x) + (C cos 2x + D sen 2x) = -sen 2x
-3C cos 2x - 3D sen 2x = -sen 2x
Portanto, .

Passo 6

A solução particular completa é a soma de yp(x) = 12 x sen x + 13 sen 2x e :

Passo 7

Agora, a solução geral da equação diferencial é:

Passo 8

Aplicamos as condições iniciais para encontrar C1 cos(pi2) + C2 sen(pi2) + 12 cdot pi2 sen(pi2) + 13 sen(pi) = 0 e 0 + C2 cdot 1 + pi4 cdot 1 + 0 = 0 implies C2 + pi4 = 0 implies C2 = -pi4 .
Primeiro, y'(x) = -C1 sen x + C2 cos x + 12 sen x + 12 x cos x + 23 cos 2x :
Simplificando:
- C1 cdot 1 + C2 cdot 0 + 12 cdot 1 + 12 cdot pi2 cdot 0 + 23 cdot cos pi = 0
Segundo, - C1 + 12 + 23 cdot (-1) = 0 implies -C1 + 12 - 23 = 0 :
Primeiro, encontramos - C1 - 16 = 0 implies C1 = -16 :
Substituindo :
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados