Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais
e
.
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com termos forçados. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (
) e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
.
A equação característica dessa equação é
, que tem raízes complexas
. Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa .
Como o lado direito da equação é a soma de
e , vamos buscar soluções particulares para cada termo separadamente e depois somá-las.
Para
, notamos que já está na forma da solução homogênea, então precisamos multiplicar por
para evitar redundância. Assim, supomos:
Para , não é solução da homogênea, então podemos assumir:
Passo 4
Vamos substituir
na equação para encontrar
e
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando, os termos com
se cancelam, restando:
Igualando os coeficientes:
Portanto, .
Passo 5
Agora, substituímos na equação para encontrar
e
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Portanto, .
Passo 6
A solução particular completa é a soma de
e
:
Passo 7
Agora, a solução geral da equação diferencial é:
Passo 8
Aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro,
:
Simplificando:
Segundo,
:
Primeiro, encontramos :
Primeiro, encontramos
Substituindo
:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é: